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题目银行服务问题摘要银行的排队问题是目前各银行系统普遍存在的突出问题，本文通过对M/M/1排队模型最优的服务率进行分析，得出了在一定条件下的最优服务窗口数量。问题一：根据银行每天流动的人数，对到达和服务的时间进行概率统计，并利用M/M/1排队模型进行求解，同时通过对概率的估算，拟合出相应的概率问题，最后归纳得出关于银行服务问题的最优解的模型问题二：对银行排队窗口的优化，根据多窗混合制排队模型，结合问题一，便可解出给定条件下的最优窗口数，从而对银行的排队机制提供相应的建议。综上所述，我们利用数学建模的方法，根据排队论的知识建立银行排队问题的数学模型，通过对这个数学模型的求解，分析银行排队问题的解决思路，为银行服务系统提供决策参考。关键字：M/M/1排队模型、M/M/c排队模型、银行排队方式、最优服务窗口数。一、问题重述随着经济和金融的发展，越来越多的人去银行办理金融业务。但是，最近的现象表明，银行排队的情况非常严重，等待的时间比以前长了许多，在某些情况下，这种等待时间让顾客难以忍受。银行的排队问题耽误了许多人宝贵的时间，已经成为国内许多商业银行的一大心病。一种很自然的解决办法是在银行内多开设几个窗口，让队伍的长度变短，甚至可以多开几个银行。但是开设银行之后，对于顾客来说，减少了等待时间。但是，对于银行来说，加大了许多投入。这可能是商业银行的利益受到了亏损。这就造成了两难的境地，一方面等待时间长，流失掉顾客，减少利润；另一方面，增加窗口来缩短等待时间，但加大了投入，利益也在一定程度上受到了损害。本文试图通过数学模型分析求出一个兼顾两方面的方案。因此，解决银行排队问题就是要尽可能地找到一个平衡点，使顾客的等待时间，开设的窗口数，排队等待损失的顾客数三者达到最低的平衡状态。第一问是要建立一个模型；第二问实质上是银行服务窗口数量的优化。二、问题分析第一问是要我们建立银行排队服务系统的优化模型。首先根据对一天约150名的顾客进行时间的概率统计，我们队这些数据进行了标准化的模型求解，分别求出平均顾客数(平均队长)Ls，处在队列中等待的平均顾客数(平均队列长)Lq，顾客在系统中平均逗留时间Ts和在队列中的平均等待时间Tq，对相应的参数也进行整合，求得最佳的银行排队服务问题的模型。第二问的本质就是优化窗口数目， 我们认为这里有必要引入排队论的知识。银行系统属于多服务窗混合制排队模型，根据银行可实现的窗口我们分别计算窗口数为的情况，由于已知了窗口数便可利用排队论的知识，加上限制条件，分别可得到顾客必须等待的概率，平均队列长，平均队长，平均逗留时间，平均等待时间。三、模型假设1、假设银行顾客随机到达，并近似服从一个指数分布；2、假设在多窗口排多个队伍的方式下，每个顾客到达后选择一个窗口排队，排队后坚持不变；3、假设尽管银行会有多个服务窗口，可能出现后到的人先得到服务。但是因为对于银行来讲，每个需要服务的人都可以认为是一样的，故总体上考虑“先到先服务4、假设需要服务的人总会选择较短的队伍，而且对各窗口没有偏好，所以在拥挤的时候各窗口前的队伍总是趋于一样长；5、假设每位顾客所需服务时间大致相同；6、不同顾客之间到达相互独立；7、服务系统评价不考虑银行成本影响，或者对于服务来讲对银行成本基本不影 响或影响极小，故可以忽略不计；四、符号说明P0服务窗口空闲概率Ls表示系统中的顾客数，包括排队等候的和正在接受服务的所有顾客（也称为平均队长）；Lq表示系统中排队等候的顾客数（称为平均队列长）Tq表示顾客在系统中的平均等待时间(即平均排队等待时间)；Ts表示顾客在系统中的平均逗留时间(包括等待时间和服务时间)λ表示顾客的平均到达率（称为顾客到达速率）μ表示系统的平均服务率（即服务台的平均服务速率）ρ表示服务强度,其值为有效的平均到达率λ与平均服务率μ之比, 即ρ =λ/μ五、模型的建立与求解经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程5.1问题一模型的建立与求解5.1.1模型的建立泊松分布和负指数分布推导表示在时间内到达的顾客数，表示在时间段内有个顾客到达的概率，即，当满足以下三个条件时，则称顾客的到达形成泊松流。无后效应：在不相交的时间去内顾客到达数是相互独立的，即在时间段内到达个顾客的概率与时刻以前到达多少顾客无关。平稳性：对于充分小的，在时间间隔内有一个顾客到达的概率只与时间段的长度有关，而与起始时刻无关，且，其中称为概率强度，即表示单位时间内有一个顾客到达的概率。普通性：对于充分小的，在时间间隔内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，可以忽略不计，即。5.1.2模型的求解如果取时间段的初始时间为，则可记。在内，由于，故在内没有顾客到达的概率为.将分为和，则在时间段内到达个顾客的概率应为，即，令，则，.当时，有由上式解得，同