矩阵概要.DOCVIP

第五单元 矩阵概要 矩阵是线性代数一个很重要的内容.它是研究线性问题的有力工具，它与自然科学、社会科学、工程技术以及生产实际中的大量问题有关，这些问题均可通过对矩阵的研究获得解决.因此，矩阵是一个十分重要、非常实用的数学工具. 本章主要介绍矩阵的概念、性质及其运算，建立矩阵与行列式的某种关系，还介绍初等变换及其相应的初等矩阵，矩阵的秩以及一些特殊矩阵. 矩阵，Matrix。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。 矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。 ,称为一个矩阵； 若，称矩阵为方阵 2.线性运算 ，则 （1） （2） 3.矩阵的乘法运算（） 前提:矩阵的列数=矩阵的行数，若，则有，其中 性质：(1) (2) (3) (4)一般；若，称为可交换矩阵 4.矩阵的转置 ，则的转置定义为 性质：(1) (2) (3) (4) 对称矩阵：若，则称为对称矩阵 5.矩阵的逆矩阵 定义：设为阶方阵，若存在阶方阵，使，则称可逆， 是的逆矩阵，记为 性质：(1) (2) (3) (4) (5)的逆矩阵存在必唯一 (6)若为阶方阵,且，则 6.伴随矩阵 定义： ，则的伴随矩阵定义为， 其中为的代数余子式 性质： (1) (2) (3) (4) 7.几个特殊方阵 (1)上三角阵 (2)下三角阵 (3)数量阵 (4)对角阵 (5)单位阵 二．矩阵的初等变换 矩阵的以下三种变换称为矩阵的初等行（列）变换 (1)交换矩阵的两行（列） (2)用非零常数乘以某行（列）中的所有元素 (3)把某行（列）元素的倍加到另一行（列）上去 三． 初等矩阵 单位矩阵经过一次初等变换后所得到的矩阵称为初等矩阵，具有三种基本形式 (1) (2) (3) 性质：初等矩阵是可逆矩阵，且 (1) (2) (3) 四． 求矩阵的逆矩阵 方法一： 方法二：用初等变换的方法 具体方法：从上到下，从左到右，阶梯阵对角阵单位阵 五．矩阵的秩 定义：矩阵中非零子式的最高阶数 求法：用初等变换的方法， （从上到下，从左到右，出现较多的零元素） 六．有关的结论 可逆 七．有关的秩的结论 (1) (2) (3) (4) (5)初等变换不改变矩阵的秩 (6)若,则 八．矩阵的等价 定义：(1)如果矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵，就称矩阵与行等价; (2)如果矩阵经过有限次初等列变换变成矩阵，就称矩阵与列等价; (3)如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价，记作∽. 等价关系的性质： (1)反身性：∽. (2)对称性：若∽，则∽ (3)传递性：若∽，∽,则∽ 九．元线性方程组的解与秩之间的关系