矩阵-上海财经大学.PPT

——上海财经大学应用数学系 第二章 矩阵 * 线性代数 一、矩阵及其运算 (sect.1,2,3) 二、逆矩阵 (sect.5) 三、矩阵的初等变换 (sect.6) 四、分块矩阵 (sect.4) 一、矩阵及其运算 (sect1.2.3) 1.矩阵 由 个数 按一定次序排列成m行n列的矩形表格 称为　　　阶 矩阵．简记　　　　　或 2.特殊矩阵 (1)行矩阵 (2)列矩阵 (3)方阵 记 或 (4)上(下)三角矩阵 (ij);(ij)的方阵. (5)对角矩阵 的方阵. (6)数量矩阵 的对角矩阵 (7)单位矩阵 的数量矩阵 记 或 (8)零矩阵 所有元素都是零的矩阵.记 或 3.矩阵运算及法则 (1)加减法 则 运算法则: 交换律 结合律 其他 矩阵相等 若 则称矩阵 与 相等,记作 (2)数乘 数 则 运算法则: 数对矩阵的分配律 矩阵对数的分配律 结合律 其他 例1 设 且 求矩阵 . (3)乘法 则 其中 两个矩阵相乘可以直观地表示如下: 运算法则: 分配律 结合律 数乘结合律 其他 例2 设矩阵 求 AB 和 BA 注意: 以下结论一般情况下不成立 或 由此可见,矩阵的乘法有别于数的乘法,许多因式分解公式都可能不成立.比如: 且 (4)方阵的幂 为自然数 则 规定 运算法则: 注意: 一般来说 如果 则称 为幂等矩阵. 如果 ( 自然数) 则称 为幂零矩阵. (5)转置 称 为 A 的转置矩阵. 运算法则: 对称矩阵: 反对称矩阵: 注: 对称矩阵的元素关于其主对角线对称. 反对称矩阵的主对角线元素都为零. 性质: 为对称矩阵. 为反对称矩阵. 如果 是同阶对称(或反对称)矩阵, 是常 数,则 , 一定是对称(或反对称)矩阵,但 不一定是对称(或反对称)矩阵. 例3 设 、 是对称矩阵，则 （或 ） 也是对称矩阵的充分必要条件 . (6)方阵的行列式 称 为 的行列式, 又记 det 运算法则: 二、逆矩阵 (sect.5) 1.定义 设　是一个n 阶方阵，　是一个n阶单位阵，如果存在一个n阶方阵　 ，使得　　　　　　 则称　 可逆，又称　为非奇异矩阵,并称　为　的逆矩阵.否则称　不可逆，又称　为奇异矩阵． 2.性质 (1)若方阵　可逆,则 的逆矩阵唯一;记为 . (2)若方阵　可逆，则 　也可逆，且 (3)若方阵　可逆,且数 ,则　 也可逆,且 (4)若方阵　可逆，则 　也可逆，且 (5)若方阵　可逆，则 　也可逆，且 (7)若方阵　可逆，则　　 (6)若两个同阶方阵　　可逆，则　　也可逆, 且 3.伴随矩阵 称 为矩阵 的伴随矩阵. 其中 为 中元素 的代数余子式. 重要恒等式: 设 性质: 4.伴随矩阵求逆法 定理 方阵 可逆的充分必要条件是 . 推论 n 阶方阵 和 ,如果 ,则 和 都可逆, 且 , . 如果 可逆,则 例5 求矩阵 的逆矩阵. 例4 n阶方阵 满足 , 试证 可逆. 由上述重要恒等式和定理可得求逆公式: 三、矩阵的初等变换 (sect.6) 1.初等变换和初等矩阵 初等变换： (1) 互换矩阵的某两行(列)； 　(2) 用数　　　乘矩阵的某一行(列)； 　(3) 把矩阵的某一行(列)元素的　倍加到另一行　　　　(列)的对应元素上去； 记作 记作 记作 初等矩阵: 由单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵，称为初等矩阵． (1) 第i 行 第j 行 　第i列　　第j列 (2)　 第 i 行 第 i 列 (3) 第 j 行 第 i 行 第 i