Possion过程中条件分布.docVIP

Possion过程中条件分布摘 要：Possion过程是相对简单但理论丰富且实用性强的计数过程。其理论广泛应用于精算学、排队论等学科，在工程和实践中的应用更为广泛和深入。Possion过程的性质在诸多文献中有详尽的讨论，有关条件分布的结论也零星地见于一些文献，但都不成体系。本文系统地归纳讨论了Possion过程及复合Possion过程中的条件分布，以资学习者参考。 关键词：Possion过程；复合Possion过程；条件分布 1 齐次Possion过程的条件分布 设{N（t），t≥0}是参数为λ的齐次泊松过程，即{N（t），t≥0}满足下列条件： （1）N（0）=0；（2）N（t）是独立增量过程；（3）P{N（t+△t）-N（t）≥2}=o（△t）；（4） 。 以N（t）表示[0，t]时间间隔内到达的顾客数，以X1表示第一个顾客到达的时间，Xn（n1）表示第n-1个顾客与第n个顾客到达的时间间隔，以Sn表示第n个顾客到达的时刻，易知Sn=X1+…+Xn，n≥1 。 定理1[2] {N（t），t≥0}是参数为λ的齐次泊松过程的Possion过程，则 （1）到达时间间隔序列X1，X2，…是相互独立的随机变量序列，并具有相同的均值为1/λ的指数分布。 （2）Sn服从参数为n，λ的Г分布，其概率密度为 。 为说明到达时刻的联合分布和条件分布，先简要介绍顺序统计量。 设X1，…，Xn是n个随机变量，其顺序统计量记为X（1），…，X（n），若Xi（1≤i≤n）是独立同分布的连续型随机变量，且有分布密度函数为f（xi） 时，顺序统计量X（1） ，…，X（n）的联合密度为 若Xi 服从[0，t） 上均匀分布则 引理1[1] 记X1，X2，…，Xn为n个独立的均匀分布于（a，b）上的随机变量的顺序统计量，则在Xn=x的条件下，X1，X2，…，Xn-1 联合分布与n-1个独立的均匀分布于（a，x）的顺序统计量的联合分布具有相同的分布。即在Xn=x的条件下，X1，X2，…，Xn-1的概率密度为 。 定理2[3] {N（t），t≥0}是参数为λ的齐次泊松过程的Possion过程，在N（t）=n的条件下，n个顾客的到达时间S1，…，Sn的联合密度等于n个独立的[0，t] 均匀分布随机变量的顺序统计量的分布密度，即N（t）=n 时S1，…，Sn的联合分布密度为 定理3[1] {N（t），t≥0}是参数为λ的齐次泊松过程的Possion过程，在N（t）=n及第n个顾客到达时刻Sn=μ的条件下，前n-1个顾客到达时刻S1，S2，…，Sn-1的条件分布与n-1个独立的均匀分布于（0，μ）上的随机变量的顺序统计量的联合分布相同。即它的概率密度为 证明 由定理2，N（t）=n时，S1，S2，…，Sn与n个独立的均匀分布于[0，t]上的随机变量的顺序统计量的联合分布相同，再由引理1可知定理3成立。 定理4[6] {N（t），t≥0}是参数为λ的齐次泊松过程的Possion过程，在N（t）=n及第k个顾客到达时刻Sk=μ（k=1，2，…，n）的条件下，其余n-1个顾客到达时刻S1，…，Sk-1，Sk+1，…，Sn的条件分布的概率密度为 2 非齐次Possion过程的条件分布 引理2 设{N（t），t≥0}是强度函数为λ（t）的非齐次Possion过程，已知在[0，t]内到达的顾客数N（t）=n ，则n个到达时刻S1，S2，…，Sn的联合概率密度为 定理5[2] 设{N（t），t≥0}是强度函数为λ（t）的非齐次Possion过程，在N（t）=n及第k个顾客到达时刻Sk=μ（k=1，2，…，n） 的条件下，其余n-1个到达时刻S1，…，Sk-1，Sk+1，…，Sn的条件分布的概率密度为 3 复合Possion过程的条件分布 设{N（t），t≥0}是参数为λ的齐次泊松过程，{Yi，i=1，2，…}是一族独立同分布的随机变量，{N（t），t≥0} 与{Yi，i≥1} 是独立的， ，称{X（t），t≥0} 为复合泊松过程。 定理6 设S1（t）， S2（t），…， Sm（t）是m个独立的过程，Si（t）是参数为λi的{Ni（t），t≥0}与分布函数为Fi（x）的复合泊松过程（i=1，…，m），S（t）=S1（t）+S2（t）+…Sm（t），则S（t）是参数为 与分布函数为 的复合泊松过程。 证明：对t≥0，Si（t）是参数为λi与分布函数为Fi（x）的复合泊松分布（i=1，…，m），只需证明S（t）是参数为 与分布函数为 的复合泊松分布即可。此种情形于文献[05]有详细过程，故略。 设x1，x2，…，xm是m个不同实数，在定理5中，若Fi（x）为单点xi的分布，N1（t