布里渊区与倒格子原胞.doc

 第 16 卷第 1 期 1 9 9 7 年 1 月 大 学 物 理 COL L E GE PH YS IC S V o l. 16 N o. 1 J an. 1997 布里渊区与倒格子原胞 进1) 李光惠2) 李 (1) 东京大学机械工学系, 东京, 113, 日本; 2) 荆州师范专科学校物理系, 湖北荆沙 434104) α 摘 要 用简单数学方法就体心立方晶格和面心立方晶格证明了三维情况下布里渊区体积等于倒格子原胞 体积. 同时提出证明高阶布里渊区与简约布里渊区体积相等的一种简捷方法. 关键词 布里渊区; 倒格子原胞; 维格纳- 赛兹原胞 分类号 O 481. 1 a 3 × a 1 (2) b2 = 1 引言 a r ( ) 2 a 3 × a 1 在正空间中, 正格子原胞体积等于维格纳 —赛兹原胞体积; 在倒空间中, 倒格子原胞体积 等 于 简 约 布 里 渊 区 体 积, 这 已 被 公 认. N. W . A sh c ro f t 仅就二维布拉菲格子中的一种特例用 割补平移法做了证明1 . 但对于三维倒格子, 由 于布里渊区形状比较复杂, 迄今未见定量证明. 本文就体心立方和面心立方格子两种特例用简 单数学方法证明了布里渊区体积等于倒格子原 胞体积, 这种方法对于任意布拉菲格子都适用. 本文还指出了证明高阶布里渊区与简约布里渊 区体积相等的一种方法. a 1 × a 2 b3 = a 3 r (a 1 × a 2 ) 则以 b1、b2、b3 为边矢量的平行六面体是倒格子 中最小的周期性重复单元, 称之为倒格子原胞, 其体积为 8 = b1 r (b2 × b3 ) (3) 不难证明, 正格子原胞体积和倒格子原胞体积 2 互为倒数 , 8 = 1?V 0 (4) 虽然, 正格其矢 a 1、a 2、a 3 的选取不是唯一 的, 但是对于确定的晶格, 其倒格子是唯一确定 的. 若 a 1、a 2、a 3 选定, 则相应的 b1、b2、b3 也是确 定的. 然而, 对于上述的原胞, 只描述了最小周 期性一个侧面, 为了使选取的单元既有最小周 期性, 又参反映出对称性, 则有时在正格子中选 某一格点为原点, 作最近邻或最近邻和次近邻 2 正格子原胞与倒格子原胞 固体物理中, 若正格基矢为 a 1、a 2、a 3 , 则以 a 1、a 2、a 3 , 为边矢量的平行六面体是晶格中最小 的周期性重复单元, 称之为原胞, 其体积为 V 0 = a 1 r (a 2 × a 3 ) (1) 正格矢的垂直平分面围成的区域作为原胞 , 这 定义倒格基矢 b1、b2、b3 , 它们与 a 1、a 2、a 3 的关 系为 - 赛兹原胞1 . 就是所谓的维格纳 相应地 , 在倒格子中也可以作出所有倒格 a 2 × a 3 b1 = 矢的中垂面围成一些区域, 这就是由方程3 a r (a 1 2 × a ) 3 K h r (k + 1 K h ) = 0 (5) 2 收稿日期: 1996- 05- 28 α 所描述的各个面所围成的区域, 即布里渊区. 式 中, k 是波矢, Kh 是倒格矢. 下面我们将分别以体心方立晶格和面心立 方晶格为倒, 证明布里渊区体积等于倒格子原 胞体积. C = 1 (100) a D = 1 (111) (8) 2a 由式 (8) 可得 3 体心立方晶格 (9) A C = 2 ?a B D = 1?a 所以菱形 A B CD 的面积 不难证明, 对于体心立方晶格, 正格子原胞 体积为 a 3 ?2 V 0 = a 1 r (a 2 × a 3 ) = 其倒格子原胞体积为 (6) 1 2 S = A C × B D = (10) 2 2 2a 不难求出, 以菱形 A B CD 为底、顶点为 # 角锥之高 的四 2?a 3 8 = b1 r (b2 × b3 ) = (7) 式中, a 是体心立方晶格正格子中典型立方单 元的边长. 众所周知, 体心立方晶格的倒格子是面心立 方晶格, 由最近邻倒格矢中垂面围成的区域是菱 形十二面体, 即第一布里渊区, 如图 1 所示. 1 2 2 h = 2 r = (11) 4 2a a 四角锥 #A B CD 的体积 8 1 = S h ?3 = 1?6a 3 所以菱形十二面体的体积为 8 ’ = 128 1 = 2?a 3 (12) (13) 比较式 (13) 和 ( 7) , 可以得出, 对于体心立方晶 格第一布里渊区体积与倒格子原胞体积相等. 4 面心立方晶格 对于面心立方格子其倒格子是体