试卷十四试题与结果解析.docVIP

试卷十四试题与答案 填空 10% （每小题 2分） 设是由有限布尔格诱导的代数系统，S是布尔格，中所有原子的集合，则～ 。 集合S={α，β，γ，δ}上的二元运算*为 * α β γ δ α δ α β γ β α β γ δ γ β γ γ γ δ α δ γ δ 那么，代数系统S, *中的幺元是 , α的逆元是 　　　 　 。 设I是整数集合，Z3是由模3的同余类组成的同余类集，在Z3上定义+3如下： ，则+3的运算表为 ； Z+,+3是否构成群 。 设G是n阶完全图，则G的边数m= 。 如果有一台计算机，它有一条加法指令，可计算四数的和。现有28个数需要计算和，它至少要执行 次这个加法指令。 选择 20% （每小题 2分） 在有理数集Q上定义的二元运算*，有， 则Q中满足（ ）。 所有元素都有逆元； B、只有唯一逆元； C、时有逆元； D、所有元素都无逆元。 设S={0，1}，*为普通乘法，则 S , * 是（ ）。 半群，但不是独异点； B、只是独异点，但不是群； C、群； D、环，但不是群。 3、图 给出一个格L，则L是（ ）。 A、分配格； B、有补格； C、布尔格； D、 A,B,C都不对。 有向图D=V , E ，则长度为2的通路有（ ）条。 A、0； B、1； C、2； D、3 。 在Peterson图中，至少填加（ ）条边才能构成Euler图。 A、1； B、2； C、4； D、5 。 判断 10% （每小题 2分） 在代数系统A,*中如果元素的左逆元存在， 则它一定唯一且。（ ） 设S,*是群G,*的子群，则G,*中幺元e是S,*中幺元。（ ） 设， +,·为普通加法和乘法，则代数系统A，+，·是域。（ ） 设G=V ,E 是平面图，|V|=v, |E|=e，r为其面数，则v-e + r=2。（ ） 如果一个有向图D是欧拉图，则D是强连通图。（ ） 四、证明 46% 设A,*，是半群，e是左幺元且，使得， 则A , *是群。（10分） 循环群的任何非平凡子群也是循环群。（10分） 设aH和bH是子群H在群G中的两个左陪集，证明：要末，要末 。（8分） 设A ,+ ,·，是一个含幺环，|A|3，且对任意，都有，则A ,+ ,· 不可能是整环（这时称A，+，·是布尔环）。（8分） 若图G不连通，则G的补图是连通的。（10分） 五、布尔表达式 8% 设是布尔代数上的一个布尔表达式，试写出其的析取范式和合取范式。 六、图的应用 16% 构造一个结点v与边数e奇偶性相反的欧拉图。（6分） 假设英文字母，a，e，h，n，p，r，w，y出现的频率分别为12%，8%，15%，7%，6%，10%，5%，10%，求传输它们的最佳前缀码，并给出happy new year的编码信息。（10分） 答案 填空 10%（每小题2分） +3 [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] 1、P (S), ；2、β，γ；3、 是； 4、；5、9 选择 10%（每小题 2分） 题目 1 2 3 4 5 答案 C B D B D 判断 10%（每小题2分） 题目 1 2 3 4 5 答案 N Y Y N Y 证明 46% 1、（10分）证明： （1） (2) e 是A，*之幺元。 事实上：由于e是左幺元，现证e是右幺元。 （3） 由（2），（3）知：A,*为群。 2、（10分）证明： 设G,*是循环群,G=(a)，设S,*是G,*的子群。且，则存在最小正整数m，使得：，对任意，必有， 故： 即： 所以但m是使的最小正整数，且，所以r=0即： 这说明S中任意元素是的乘幂。 所以G,*是以为生成元的循环群。 3、（8分）证明： 对集合，只有下列两种情况： （1）； （2） 对于，则至少存在，使得，即有，这时任意，有，故有 同理可证：所以 4、（8分）证明： 反证法：如果A，+，·，是