额外教学例题193.docVIP

教學例題 19.1 在圖中，線段 AB 的長度為 4 cm。已知動點 P 與AB 上最接近的點保持固定距離 2 cm。試繪畫及描述 P 的軌跡。 解 P 的軌跡包括： (i) 兩條與線段 AB 相距2 cm，且長度與 AB 相等的平行線段，以及 (ii) 兩個圓心分別為 A 和B，半徑為 2 cm 的半圓。 教學例題 19.2 圖中所示為邊長2 cm 的正方形ABCD。已知一點 P在正方形 ABCD 上或以內移動，且與 AB 和 AD 保持相等距離。試繪畫及描述 P 的軌跡。 解 P 的軌跡是正方形 ABCD 的對角線 AC。 教學例題 19.3圖中所示為邊長 4 cm 的正方形 ABCD和圓心為 P 且半徑為 1 cm 的圓。若該圓在正方形內沿其四邊滾動，試繪畫及描述圓心 P 的軌跡。 解 P 的軌跡是一個在正方形 ABCD以內邊長 2 cm 的正方形。 額外教學例題19.3 圖中所示為半徑 1 cm 的輪胎。P 是輪胎上的一點。起始時，輪胎與水平地面接觸於 P。它隨後按順時針方向向右方滾動。試繪畫及描述圓心 P 的軌跡。 解 教學例題 19.4 一動點 P 與固定點 A(5, 5) 保持固定距離 5 單位。 (a) 試繪畫及描述圓心 P 的軌跡。 (b) 求 P 的軌跡方程。 解 (a) 所求軌跡是一個圓心為 A 及半徑為 5 單位的圓。 (b) 設P的坐標為 (x, y)。 ∴ P 的軌跡方程是 。 教學例題 19.5 P 與 A(3, 0) 和 B(1, –4) 保持相等距離。 (a) 試繪畫及描述 P 的軌跡。 (b) 求 P 的軌跡方程。 解 (a) 所求軌跡是 AB 的垂直平分線。 (b) 設P的坐標為 (x, y)。 ∴ P 的軌跡方程是 。 教學例題 19.6 P 與 A(–1, 0) 和直線 x = 2保持相等距離。求 P 的軌跡方程。 解 設P的坐標為 (x, y)，及 G 為 L: x = 2 上的一點，使得 PG ( L。 ∴ P 的軌跡方程是 。 教學例題 19.7 一動點 P 與兩條平行線L1: y = 3x + 4 和 L2 : y = 3x – 6 保持相等距離。求 P 的軌跡方程。 解 如下圖所示，所求的軌跡是直線 L3。 ∵ L1的y截距 = 4 及 L2的y截距 = –6 ∴ L3的y截距 = L3 的斜率 = L1的斜率 = 3 ∴ L3 的方程是 ∴ P 的軌跡方程是 。 額外教學例題19.7 一動點 P 與直線 L : y = x 保持固定距離 2 單位。求 P 的軌跡方程。 解 所求的軌跡是一對平行於 L，且與 L 相距 單位的直線 L1 和 L2。 如圖標明， ∵ L的斜率 = 1 ∴ ∠AOC = 45° ∴ ∴ L1 的y截距是2。 同樣地， ∴ L2的y截距是 –2。 L1的斜率 = L2的斜率 = L的斜率 = 1 L1 的方程是 L2的方程是 ∴ 所求的方程是 和 。 教學例題 19.8 C 和半徑 r，寫出該圓的方程。 (答案以標準式表示。) (a) C(0, 0), r = 4 (b) C(–2, 1), r = 解 (a) 該圓的方程是 即 (b) 該圓的方程是 即 教學例題 19.9 根據下列各圓的方程，求該圓的圓心和半徑。(如有需要，答案以根式表示。) (a) (b) (c) 解 (a) ∴ 圓心 =, 半徑 = (b) ∴ 圓心 =, 半徑 = (c) ∴ 圓心 =, 半徑 = 教學例題 19.10在圖中，圓的圓心為 C (–5, 0)，它通過點 A (0, 3)。 (a) 求該圓的方程。 (b) 判斷點 B (1, 4) 位於圓內、圓外還是圓上。 解 (a) 該圓的半徑 ∴ 該圓的方程是 (b) 即 CB 半徑 ∴ 點 B (1, 4) 位於圓外。 教學例題 19.11(如有需要，答案以根式表示。) (a) (b) 解 (a) 圓心 半徑 (b) 圓心 半徑 教學例題 19.12在圖中，A(–2, 7) 和 B (–7, –5) 是圓的一條直徑的兩個端點，而圓的圓心為 C。求該圓的方程。(答案以一般式表示。) 解 ∵ C 是 AB 的中點。 ∴ C的坐標 半徑 ∴ 該圓的方程是 額外教學例題19.12 已知 A、B(4, 2) 和 C (8, –2) 為一個圓上的三點。M 是該圓內的一點，使 AM = BM = CM。 (a) 判斷 M 是否該圓的圓心。試解釋你的答案。 (b) 已知 BMC 是一條直線。求通過 A、B 和 C 的圓的方程。 解 (a) 是。由於AM = BM、BM = CM 及 CM = AM，M