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数列培优专题一．通项的求法 （1）利用等差等比的通项公式 (2)累加法： 例1．已知数列满足，，求。 （3）构造等差或等比 或 例2．已知数列满足 求数列的通项公式； 例3．已知数列中，,，求 . 练习已知数列满足，且。 （1）求； （2）求数列的通项公式。 利用 例4.设数列的前项的和 ， （Ⅰ）求首项与通项； （Ⅱ）设，，证明： （5）累积法 转化为，逐商相乘. 例5.已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项 （6）倒数变形：,两边取倒数后换元转化为。 例6：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。 练习：已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝ 求数列｛an｝的通项公式； （其中p，q均为常数）。 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为 其中s，t满足 解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。 例7. 已知数列中，,,，求。 （8）各项都是正数，且满足：， 求数列的通项公式 (9) 分式线性递推数列（） 其特征方程为，即， 1、若方程有两相异根、，则成等比数列，其公比为； 2、若方程有两等根，则成等差数列，其公差为. 例9.若则称为的不动点，函数 （I）求的不动点 （II）数列满足，，求数列的通项公式 练习.已知数列满足，则= （ ） A．0 B． C． D． 三．数列求和 1、等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： 3、错位相减法求和 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求数列前n项的和. 4、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个10. 5、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例1． 求数列的前n项和：，… 6、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项） （1）为等差数列， （2） 例1． 求数列的前n项和. 例1．的各项均为正数，且 （1）的通项公式. (2)设 求数列的前项和. 练习 ，是公差不为0的等差数列，，则（ ） A、0 B、7 C、14 D、21 2.已知数列的通项公式，则的最大项是（ ） A． B． C． D． 3. 记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题： ①当时，数列的前3项依次为5,3,2；②对数列都存在正整数，当时总有；③当时，；④对某个正整数，若，则。 其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号） ？ 4.对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.[中国教#*育出版^网@] （1）b2+b4+b6+b8=__； （2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是___. 5.n2(n≥4)个正数排成n行n列 a11 a12 a13 a14…… a1n a21 a22 a23 a24…… a2n a31 a32 a33 a34…… a3n a41 a42 a43 a44…… a4n … … … … …… … an1 an2 an3 an4…… ann 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24=1, a42=，a43=,求a11+a22+a33+…+ann= 6.数列的各项为正数,其前n项和满足,则=______. 7.对于项数为的有穷数列，记（），即为中的最大值，并称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5 （1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的 （2）设是的控制数列，满足（为常数，），求证：（） （3）设，常数，若，是的控制数列，求 8.已知各项均为正数的两个数列和满足：，， （1）设，，求证：数列是等差数列； （2）设，，且是等比数列，求和的值． 8