教案4-不定积分new.docVIP

第四章 不定积分 §4.1 不定积分概念 微分学的基本问题是：已知一个函数，求它的导数。但是，在科学技术领域中往往还会遇到与此相反的问题：已知一个函数的导数，求原来的函数，由此产生了积分学。 “积分”是“微分”的逆运算。 原函数 原函数定义 我们在讨论导数的概念时，解决了这样一个问题：已知某物体作直线运动时，路程随时间变化的规律为，那么，在任意时刻物体运动的速度为。现在提出相反的问题： 已知某物体运动的速度随时间变化的规律为，要求该物体运动的路程随时间 变化的规律。显然，这个问题就是在关系式中，当为已知时， 要求的问题。 已知曲线上任意点处的切线的斜率为，要求此曲线方程，这个问题 就是要根据关系式，求出曲线。 从数学的角度来说，这类问题是在关系式中，当函数已知时，求出函数。由此引出原函数的概念。 定义4.1 : 设是定义在某区间I内的已知函数，如果存在一个函数，对于每一点，都有： 或 则称函数为已知函数在区间I内的一个原函数。 例如，由于，所以在内，是的一个原函数；又因为，所以在内，是的一个原函数；更进一步，对任意常数，有，所以在内，都是的原函数。 原函数性质 （1）如果函数在区间内连续，则在区间内一定有原函数； （2）若，则对于任意常数，都是的原函数。 即如果 在上有原函数，则它有无穷多个原函数； （3）若和都是的原函数，则，（为任意常数）。 即任意两个原函数只相差一个常数。 不定积分 不定积分定义 定义4.2 : 若是在区间内的一个原函数，则称(为任意常数)为在区间内的不定积分，记为，即 。 其中： ——为积分号， ——被积函数， ——被积表达式， ——积分变量， ——积分常数。 由不定积分的定义可知，计算一个函数的不定积分时，就归结为“求出被积函数的一个原函数再加上任意的常数”即可。 例1 计算下列不定积分。； （2）； （3）。 解 （1）因为，所以是的一个原函数，由不定积分的定义知： 。 （2）因为，所以是的一个原函数，由不定积分的定义知 。 （3）因为，所以是的一个原函数，由不定积分的定义知 。 例2 求。时， ∵，即是的一个原函数 ∴ ②当时， ∵， ∴ 两式合并，当时，有： 。 由上述例题可以看出，求不定积分就是求被积函数的全体原函数，这个“全体”就体现在任意常数C上,因此,求不定积分时,积分常数不能丢。 由于“积分”和“微分”互为逆运算，故检验一个积分结果是否正确，只须对积分结果求导，看他是否等于被积函数。 不定积分性质 由不定积分的定义，有： 性质⑴ ：先积分后微分，两种互逆运算相抵消。 ； 性质⑵ ： 先微分后积分，两种互逆运算抵消后，相差常数。 或 。 由此可见，微分运算与求不定积分的运算是互逆的。 例3 利用性质求下列不定积分。； （2）。 解 （1）利用“先积后微，结果等于被积函数”得： （2）利用“先微后积，结果等于被积函数+”得： 不定积分几何意义 不定积分的图形是由所表示的 无穷多条积分曲线所组成的“积分曲线簇”。 （如图5-1所示） 每一条积分曲线对应于同一横坐标 处的切线互相平行。 不定积分几何意义：不定积分表示的一簇积分曲线，而正是积分曲线的切线的斜率。 例4 求过点，且其切线的斜率为得： 的曲线簇 将代入得： ∴ 为过点且其切线的斜率为表示无穷多条抛物线，这些抛物线就构成一条关于的积分曲线簇。簇中每一条曲线对应于同一横坐标处有相同的斜率。 故对应处，这簇曲线的切线互相平行，任两条曲线的纵坐标之间相差一个常数。 故确定一条曲线，其它各曲线便可由沿轴方向上、下移动而得到。 §4.2 基本积分公式 基本积分公式（背！） 由不定积分的定义，从导数公式可得到相应的积分公式。为了计算方便，下面列出基本积分公式： 这些基本积分公式是求不定积分时常用的公式，同学们必须熟练地掌握！ 不定积分运算法则 法则⑴ ： 函数代数和的积分等于函数积分的代数和。 ； 推广： 法则⑵ ： 被积函数中的常数因子可以移到积分号的外面。 （）。 现在利用不定积分的性质和基本积分公式，可以求一些函数的不定积分。 例1 计算下列不定积分： （1）； （3）； （4）。 解 （1）； ； （3）。 （4）。 注意： 检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结果是正确的，否则结果是错误的。 ； （2）； （3）； （4）。 解：（1） ； （2）； （3） ； （4）。 注意： 当被积函数不能直接用公式时，需先进行一些恒等变形或拆分，将其化为积分基本公式的形式，再求