对彩虹形成原理的定量探究.docVIP

物理建模论文 对彩虹形成原理的探究 陕西省 宝鸡市 宝鸡中学 高一5班 杨霄 指导老师 魏宗博 【摘要】 本文主要应用光的折射模型与一些数学计算，定量探究了彩虹的形成原因，解释了彩虹出现的位置，时间，条件以及生活中的一些特殊现象。 【关键词】彩虹 折射率 彩虹角 问题的提出 在初中的学习中，老师在物理课上有讲到彩虹的形成是由于阳光在空气中的小水滴中发生了色散形成了彩虹，可是这样模糊的答案不能解释为什么会是拱形的而且不会和太阳出现在同一侧等问题，在使用数学工具建立模型，进行分析，就可以让更多的同学更加清楚的理解彩虹形成的原理。 模型的假设 空气中悬浮的水滴是规则的球形 太阳光线是相互平行的 阳光在水滴中传播所用的时间忽略不记 把人眼看作一个点 太阳在水滴中只发生了一次反射 模型的建立问题的解决 符号规定 ：太阳光线射入水滴时的入射角 ：太阳光线射入水滴时的折射角 ：各种色光折射最密集的入射角的大小 ：太阳光线从射入水滴到射出水滴总偏折角度 ：光线从空气到水中的折射率 ：可见光从空气射进水中的折射率 ：彩虹角 通过查阅一些资料了解到，彩虹在形成的过程中是由于在水滴中发生了一次反射两次折射形成的，由此结合光的折射定律就可以到了右图。 据此借助数学几何知识可得到以下关系： 根据折射定律有 所以可得到 根据查阅的一些资料，我了解到了可见光在水中的折射率大约为，将红光的折射率带入上面的表达式可以得到如下图像. 在这个图像中 我发现，每一束光线经水滴折射后都会有一个偏折角。 我把每该函数从0开始自变量每隔10°取一个值，对该区间内D（α）的变化幅度ΔD(α)进行比较，发现，当α越接近D(α)的最低点，D(α)的变化幅度越小，也就是说，太阳光线从不同角度射入水滴以后，都集中在了D(α)的最低点附近。 α D(α) ΔD(α) 0 180 10 169.992 10.008 20 160.394 9.598 30 151.67 8.724 40 144.396 7.274 50 139.329 5.067 60 137.487 1.842 70 140.185 -2.698 80 148.919 -8.734 90 164.986 -16.067 100 188.919 -23.933 110 220.185 -31.266 因此 我尝试着对D(α)进行求导，有 又因为 时 有 因此 代入上式可得 另可得 又因为 带入可得 经过化简 对于折射率为n的光线我们就得到了 分别把各种色光的折射率带入上式 就可以得到下表 色光 n αm D（α） 红光 60.0511 137.488 橙光 1.3325 59.4395 137.484 黄光 59.4047 137.484 绿光 59.3001 137.485 蓝光 59.622 137.484 紫光 58.8014 137.479 根据太阳光与人的位置，得到了下面的位置关系 由上图，可以得到关系 据此我算出了θ的值如下表 色光 θ 红光 橙光 42.516 黄光 绿光 蓝光 紫光 由于人眼的位置可以看作是一个点，因此过这个点的所有与太阳的平行光线放到一起 就构成了一个圆椎体，如下图 由于人眼处在这个圆锥的顶点，而且圆锥的底面是一个圆形，因而彩虹看上去就应该是一个圆圈，并且根据上表中不同色光对应的θ值不同，并且从红光到紫光随着波长变短，折射率变大θ值一直在减小，这也就解释了为什么看到的彩虹最外层是红色的而紫色在最内侧。 我们平时看到的彩虹都是拱形的，可到现在为止我们计算出来的彩虹还是一个封闭的圆环。是不是在考虑问题的时候漏掉了一些什么。 想到太阳的东升西落，而根据我建立的模型，彩虹总是在从人看太阳的另一边，那么太阳到中午时 ，彩虹不就跑到了脚底下去了么，这显然是不可能的，因此很容易想到，随着阳的升高，彩虹的高度也随之下降，而我们所观察到的彩虹则只露在天空的那一部分，而当其有一部分下降到地平线一下的时候，在天空上也就剩下这个圆环的一段弧线了，也就是我们所看到的拱形的彩虹。而如果太阳再继续向上升起，彩虹继续下降的话等到其完全在地面一下的话，我们就一点彩虹也看不到了，这也就能够解释为什么彩虹只出现在早晨和傍晚，而在中午却看不到彩虹的踪影。 得出结论 我们所看到的彩虹是在以过人眼位置的太阳平行光线为轴与太阳光线夹角在42.52°左右的一条弧形的光带上。并且不同色光由红到紫从外向内依次排列。彩虹只有在太阳高度较低的早晨和下午才可以看到。 参考文献 1.余小英，李凡生 彩虹形成的光学原理及散射角的推导,南宁师范高等专科学校学报维基百/wiki/%E6%96%AF%E6%B6%85%E5%B0%94%E5%AE%9A%