勾股定理的几种证法引发的对数学教育的思考.docVIP

鲁东大学 2011－2012学年第一学期 《 数学史 》课程论文 课程号：2191010 任课教师 范永顺 成绩 论文题目：勾股定理的几种证法引发的对数学教育的思考 3000左右。选题与学术水平占40分，论证能力占25分，论文撰写质量占25分、学习态度与论文字数占10分。 教师评语： 教师签字： 勾股定理的几种证法引发的对数学教育的思考2002 年8 月第24 届国际数学家大会在北京召开,这是一百多年来中国第一次主办国际数学家大会, 也是发展中国家第一次主办这一大会. 在本次大会上, 到处可以看到一个简洁优美的图案在流动. 这个看像旋转的纸风车的图案( 如图( 1) ) 就是本次大会的会标—科学之王的旗帜. 小小的它联结着古代与现代, 中国和世界. 会标是一个正方形, 其中有4 个以正方形的边长为弦的勾股形, 而中心则是以勾股差为边长的小正方形. 这实际上是以赵爽《周髀算经注》中的( 弦图一)为原形而设计的. 刘徽《九章算术》注：( 公元263 年)在图( 1)证明：《九章算术》的解勾股形公式时也用到这个图. 这个图产生于什么时候, 不得而知. 刘徽注《九章算术》时曾“采其所见”. 稍前于刘徽的赵爽在《周髀算经注》的“勾股圆方图说”中使用这个图的文字叙述大体与刘徽相同, 因此有可能它们不是赵爽或刘徽个人的创造, 而是当时数学界的共知. 勾股定理图形简单、结构优美、应用广泛, 因此, 勾股定理的发现激发了广大学者的极大兴趣, 其中对其证明的研究尤为突出, 现在世界上已找到了四百多种证法. 这些证明不仅证明了定理, 更有意义的是丰富了研究数学问题的方法和手段. 在数学史中, 勾股定理(即直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方) 是一个大多数人熟悉的著名定理, 古今中外, 很多方面有它的应用。然而, 任何数学规律的发现与证明都是具有历史性和社会性的。古代勾股定理的几种常用证法引发了我对现代数学教育的看法与思考。 图(1 ) 1、外国的证法引发的思考 人们常把勾股定理叫做毕达哥拉斯( Py thagoras, 约公元前585?? 约前500) 定理, 实际上它既不是他发现的, 也不是他首先证明的, 只是他研究过这条定理, 对它进行过文字说明, 没有代数表达式。但值得一提的是他从中发现了正方形的一边与对角线为不可通约量, 即为无理数。其实在现实生活中, 在数学研究与学习中, 只要注意留心身边的事物, 善于观察, 勤于思考, 一定会有“ 柳暗花明” 的发现。欧儿里德( Euc lid, 约公元前300—前275) 在公元前三、四世纪把几何学整理成逻辑演绎系统。他的著作《原本》( 即《几何原本》) 中卷一第47题为勾股定理的证明。他用一种严格的逻辑推理方法给出证明。他的证法呈现出了严谨和完美的推理过程, 展示了数学的理性美。但我不喜欢这种证法, 我认为, 数学一定要讲究逻辑, 但数学不是因为逻辑的严密而完美。作为教师, 教给学生的不能只是教科书中那种千锤百炼、没有生气的已经被标本化了的数学, 不能单纯强调数学的严谨性和抽象性, 不能把数学视作一套概念体系, 一种研究活动过程、方法、技术和结果。否则, 数学教育就只能是一种简单的静态的过程反映。长此下去, 对数学感兴趣的人会越来越少, 那岂不是教育的一种失败。印度人婆什迦罗( Bhaskara, 1114— 1178) 对勾股定理给出两种证明。他的第一种证明画了一个图形( 图1), 只写了一个“ 瞧”字, 未作其他解释。第二种证法利用了相似直角三角形( 图2), 易知: , , 相加后得。第二种证法至今沿用并为大家喜欢,它的魅力在于简单明了, 不需要太多数学知识就能领悟它的奇妙, 真是“简单就是美”。 钱佩玲说过“ 数学素质的核心是数学意识和观念, 而形成数学意识和观念的关键是数学思想方法”。因此通过讲解典型而重要的数学概念的形成过程来体现数学思想方法, 是对于真正意义下的素质教育和创新教育实施最有效的途径。当然, 如何真正教给学生数学思想方法, 就为教师提出新的思考与挑战。 ２、　中国的证法引发的思考 ２．１　在中国, 三国时东吴数学家赵爽(即赵君卿) , 他在为《周髀算经》所作的注释中用弦图法( 并附有五百余字的说明) 证明了勾股定理. 如图3, 其中每个直角三角形称为“朱实”, 中间的一个小正方形叫“中黄实” , 以弦为边的正方形ABEH 叫“弦实” . 四个朱实加上一个黄实就等于一个弦实, 即 化简后即得. 这个式子从三国时赵爽给出的弦图上看,直接形象地证明了勾股定理, 这种证法简洁明了, 直观性强, 国外类似证法直至1150