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高中《数学》必修5 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 1. 相等与不等 （1）既有相等关系，又存在着大量的不等关系。 自然语言：长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过，不少于，等等。 符号语言：，，，， （2）这是一种辩证关系。 （3）这就是数学，数学是研究辩证科学的学科，我爱数学！ 2. 不等关系定律 （1）自然语言描述 如果是正数，那么； 如果等于零，那么； 如果是负数，那么； （2）符号语言描述 3. 不等式的性质 性质1：如果，那么；如果，那么。即 性质2：如果，,那么。即 或： 性质3：如果，那么。 性质4：如果，，那么。如果，，那么。 性质5：如果，那么。 性质6：如果，，那么。 性质7：如果，那么，（）。 性质8：如果，那么，（）。 3．2 一元二次不等式及其解法 1．一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称之为一元二次不等式。 表示为：0，0（）。 2．一元二次不等式的解法 2.1图像解法： ① 写出相应的二次函数； ② 在平面直角坐标系中作出相应的函数图像； ③ 根据图像读出自变量的取值范围； ④ 写出一元二次不等式的解集。 2.2方程解法： ① 写出相应的一元二次方程； ② 判定该一元二次方程的根的情况； ③ 将二次项系数化为正数； ④ 写出未知数的取值范围，包括，，几种情况； ⑤ 写出一元二次不等式的解集。 3．一元二次不等式的应用 ① 正确解出一元二次不等式的解集； ② 求一些函数的定义域； ③ 解决一些相应的应用问题； ④ 解决与一元二次不等式有关的参数讨论问题。 3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 1．二元一次不等式（组） （1）二元一次不等式的定义：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式。 （2）二元一次不等式组的定义：由几个二元一次不等式组成的不等式组。 2．平面区域 （1）定义：二元一次不等式的解集，构成平面区域。 （2）区域的确定： ① 画出相应二元一次方程所表示的直线； ② 选择特殊点验证二元一次不等式是否成立，从而确定区域位置； ③ 确定区域的边界。 3．简单的线性规划问题 （1）几个概念： ① 约束条件：二元一次不等式组的解集。因未知数次数为1次，所以又称为线性约束条件。 ② 目标函数：所要求的二元函数。线性目标函数。 ③ 线性规划：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题。 ④ 满足线性约束条件的解叫做可行解；所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。 （2）线性规划问题解题步骤： ① 根据问题写出二元一次不等式组，并画出相应的区域； ② 写出目标函数； ③ 将目标函数转化成一次函数，并确定直线组； ④ 在图形中读出目标函数取得最大值和最小值时的； ⑤ 回答相关问题，结束解题。 3．4 基本不等式： 1．不等式 ① 几何解释：中国古代数学家赵爽的弦图，24届国际数学家大会的会标（北京）。 ② 代数证明：利用不等式基本定律证明。 2．基本不等式 ① 基本不等式成立的条件：。 ② 基本不等式的代数证明（同前）。 ③ 基本不等式的两种形式： （）； （）。 ④ 基本不等式的自然语言描述： 为两个正数的算术平均数，为两个正数的几何平均数。 基本不等式为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。 ⑤ 基本不等式的扩展： 如果，则有。 （当且仅当时，等号成立） 3． 利用基本不等式求函数的最值 ①如果两个正数的积为常数，可以求它们和的最小值（当且仅当是，取到最大值）; ②如果两个正数的和为常数，可以求它们积的最大值（当且仅当是，取