27级高等代数2试卷A参考结果解析及评分标准.docVIP

重庆大学《高等代数（2）》课程试题（A卷）参考答案 2006~2007学年第 2 学期 考试时间：2007-7-11 解：显然所给集合对于定义的加法和数乘运算封闭。 对于加法运算，易证： （1） ；………………………….（1分） （2） ；...（2分） （3）；………………….………………………….（3分） （4）；………………….……………………….（4分） 对于数乘运算， （5）；…….…………..………….（5分） （6） ；………….（6分） （7） .…………..………..…….（8分） （8） ……..…….（10分） 故构成实数域上的一个线性空间。 解：取中间基，，，。 则，，其中 ，，从而， ，..…………………..….（5分） 其中 ，，这就是由基到基的过渡矩阵。..……………………………………………….….（7分） ， 于是在下的坐标为。……………………….….（10分） 解：二次型的矩阵为，………………………….（1分） 由经过正交变换后的标准型为，的特征值为.（3分） 故，即 所以，于是。…………………………….…….……….（6分） 相应于特征值的特征向量分别为： ，………………………….……………..……….（8分） 所以,其中。………………………….…….……….（10分） 证明：下证AA-1 设AA，因A，故,使A，…………..（2分） 因A,所以A。………………………………………………………..（4分） 于是AA，所以(A),A，即AA-1。（6分） 又因为A+A,所以(A+A) 从而A+A,故AA.……………………………………..…..（10分） 证明：因为A， B都是正定矩阵，所以存在可逆矩阵C使得 ，。其中。（4分） 于是 。……………………………………..…..…..（6分） 又因为正定，故。………………………………..…..（8分） 于是。……………………………....…..…..（10分） 证明：A相似于一个若当形矩阵，即存在可逆阵T，使得 ，其中。…………....…..…..（2分） 首先证明。 因为，于是，从而。..…..…..（5分） 再证。 因为，于是，从而有某个，于是若当块的阶数为n。………………………………………………………….………..…..（8分） 综上所述，A相似于若当块。………………….………..…..（9分） 同理，B也相似于若当块。 于是A与B相似。……………………………………………………….………..…..（10分） 证明： 必要性。 设A是反对称线性变换，且A在标准正交基下的矩阵为A。则有A。于是 （A，）＝，（，A）＝。 又因为A是反对称线性变换，所以＝－，从而A是反对称矩阵。..（4分） 充分性。 设A在标准正交基下的矩阵为反对称矩阵A，其中。则有 （A，）＝＝－＝－，A）。 ，设，于是 （A，）＝（AA） ＝（A ＝ A ＝－（AA） ＝－（，A）。 所以A是反对称线性变换。…………….……………….…..…..（8分） （2） 。因为W是A的不变子空间，故A。 于是，由A是反对称线性变换，得 （A，）＝－（，A）＝0。 所以也是A的不变子空间。…………….……………..…..（15分） 解：对A的特征矩阵进行初等变换，得 。…………….………..…..（4分） 由上式，得A得最小多项式为；…………….………..（8分） 由上式，得A的初等因子为。…………….……..（10分） 故A的若当标准形为 ；………………………….………..………..（12分） 由（2）知，A的特征值为。………..（14分） 对于特征值，相应的线性无关的特征向量为 。 对于特征值，相应的特征向量为。 令，则有。…….（18分） 将正交化得 。 再将单位化，得 。 再将单位化得。 令，则有。..（25分）