第七节 微分学在几何上的应用.pptVIP

一、空间曲线的切线与法平面 情形1. 曲线方程为参数方程的情况 证明： 例1. 例. 如果曲线的参数方程为： 切平面方程 可见，曲面 ? 在点 M0 处的法向量 例2. 情形2. 显式方程表示的曲面 证明： 法向量的方向余弦： 情形3*. 参数方程表示的曲面 内容小结 2. 设 f ( u ) 可微, 作 业 1. 证明曲面 2. 求曲线 2. 空间曲线的切线与法平面 1. 曲面的切平面与法线 3. 等量面与等高线 思考与练习 1. 如果平面 与椭球面 相切, 证明 曲面 上任一点处的 切平面都通过原点. 2. 设 f ( u ) 可微, 思考与练习 1. 如果平面 与椭球面 相切, 提示: 设切点为 则 (二法向量平行) (切点在平面上) (切点在椭球面上) 证明 曲面 上任一点处的 切平面都通过原点. 提示: 在曲面上任意取一点 则通过此 证明原点坐标满足上述方程 . 点的切平面为 P104 1 (1)， 2 (1)(4)， 4 与定直线平行, 证: 曲面上任一点的法向量 取定直线的方向向量为 则 (定向量) 故结论成立 . 的所有切平面恒 备用题 * 第七节 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第六章 复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 切线方程 法线方程 若平面光滑曲线方程为 故在点 切线方程 法线方程 在点 有 有 因 设空间曲线 Γ 的参数方程是 其中 都是可导函数， 如果 都连续且不同时为零， 这时， 称曲线 Γ为光滑曲线。 过点 M 并与切线垂直的平面称为曲线在该点的 的极限位置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线 法平面. 是指经过该点的割线 曲线在点 M 处的切线的方向向量 称为曲线在该点的切向量 可见，曲线的切向量也是 曲线在该点处法平面的法向量 切线方程 因此， 法平面方程 得：切线方程 说明: 若引进向量值函数 则 r(t) 终点的轨迹正好是曲线 ? ， 为 r (t) 的矢端曲线, 处的导向量 正好是曲线在该点的切向量. 因此，曲线 ? 也称 如果 则称向量值函数 连续. 如果 则称向量值函数 可导. 增量 求曲线 切线方程和法平面方程. 切线方程 法平面方程 即 解: 由于 对应的切向量为 在点 故 处的 求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程. 切线方程 法平面方程 即 即 解: 由于 对应的切向量为 在 , 故 切线方程 因此， 法平面方程 情形2. 曲线方程为一般方程的情况 光滑曲线 隐函数： 这时，方程隐含了两个 通过隐函数求导的方法 求出： 则可得到曲线在点 处的 切向量： 切线方程 于是， 法平面方程 例. 求曲线 切线方程与法平面方程. 解： 令 则方程组分别对x 求导： 在点 M ( 1,–2, 1) 处的 解得 切向量 因此 切线方程: 即 切向量 法平面方程: 即 曲线在点 M ( 1,–2, 1) 处的 二、曲面的切平面与法线 设有光滑曲面 通过Σ上定点 如果对于曲面Σ上任意点 M, 满足： 下面条件成立： 有一平面Π, 法向量为 则称平面Π为曲面Σ在点 处的 切平面. 切平面的法向量称为曲面 在点 处的法向量. 即： 经过曲面Σ上点 M0的任一光滑曲线C在该点处 的切线与切平面的法向量相互垂直。 情形1. 一般方程表示的曲面 定理1： 设曲面Σ的方程为 F 在点 处可微， 且 不全为零， 这时，曲面Σ在点 处的切平面方程为： 切平面并有法向量： 则曲面Σ在点 处存在 曲面Σ在点 处的法线方程为： 证: 设 其参数方程为： 则： 方程两端对 t 求导，得： 记： 则由向量知识，上述等式表示： 即： 再由曲线 C 的任意性，知 即是所求的切平面 的一个法向量。 对比平面曲线 切线与法线 因此，曲面 ? 在点 M0 的法向量 法线方程 恰好是函数 的梯度 . 处的 解： 故椭球面 法线方程 切平面方程及法线方程。 切平面方程 处的 即： 法线方程 切平面方程 定理2 设光滑曲面? 的方程为显式方程 存在切平面并有法向量： 注：这个法向量是指向下方的 曲面 则在点 当函数 法线方程 令 在点 有连续偏导数时, 切平面方程 为 由定理1， 则法向量 若用 将 表示法向量的方向角, 并假定法向量方向 分别记为 则 向上, 注意：这个方向余弦：所对应的法向量是指向上方的！ 将在P152, P172,