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欧氏空间与双线性函数 基本内容与考点综述 一、基本概念 1.欧几里得空间 设是实数域上一线性空间,在上定义了一个二元实函数,称为内积,记作它具有以下性质: (1) (2) (3) (4) 这里中任意的向量,是任意实数,这样的线性空间称为欧几里得空间. 2.酉空间 设是复数域上的线性空间,在上定义了一个二元复函数,称为内积,记作它具有以下性质: (1) (2) (3); (4) 这里 3.向量的长度 非负实数. 4.向量的夹角 非零向量 . 5.向量正交 如果向量正交,记为. 6.基的度量矩阵 的一组基,令称为基的度量矩阵. 7.正交向量组 欧氏空间中一组非零的向量,如果它们两两正交,就称为一正交向量组. 8.正交基、标准正交基 在维欧氏空间中,由个向量组成的正交向量组称为正交基,由单位向量组成的正交基称为标准正交基. 9.正交矩阵、酉矩阵 级实矩阵称为正交矩阵,如果 级复矩阵称为酉矩阵,如果 10.欧氏空间同构 实数域上欧氏空间与称为同构的,如果由到有一个双射,满足 (1) (2) (3) 这里 11.正交变换,酉变换 欧氏空间 则称 酉空间 则称 12.子空间正交、向量与子空间正交 设 则称 则称 13.子空间的正交补 子空间 14.欧氏空间的线性变换如果满足 则称 15.向量之间的距离 长度 16.最小二乘解 实系数线性方程组 可能无解.即任何一组实数都可能使 (1) 不等于零.使(1)式最小的实数组称为方程组的最小二乘解. 17.对称矩阵,Hermite矩阵 如果 如果Hermite矩阵. 18.Hermite二次型 设为Hermite矩阵,二次齐次函数 称为Hermite二次型. 19.线性函数 设是数域 (1); (2) 其中 20.对偶空间、对偶基. 设用自然的方法在 设的一组基,作个线性函数使得 则的对偶基. 21.双线性函数 中任意两个向量,根据都唯一地对应于中一个数 (1) (2) 其中双线性函数. 22.双线性函数的度量矩阵 设是数域则矩阵 叫做在基下的度量矩阵. 23.非退化的双线性函数 设是线性空间上一个双线性函数,如果 对任意 24.对称双线性函数,反对称双线性函数 是线性空间上的一个双线性函数,如果对中任意两个向量都有 . 则称为对称双线性函数,如果对中任意两个向都有 则称为反对称双线性函数. 25.双线性函数对应的二次齐次函数 设是数域时, 上函数称为与对应的二次齐次函数. 26.双线性度量空间、正交空间、准欧氏空间、辛空间 设是数域上的线性空间,在上定义了一个非退化双线性函数,则称为一个双线性度量空间,当是非退化对称双线性函数时, 称为上的正交空间;当是维实线性空间,是非退化对称双线性函数时, 称为准欧氏空间;当是非退化反对称双线性函数时, 称为辛空间. 二、基本结论 1.柯西—布涅柯夫斯基不等式 欧氏空间中的任意向量有 . 当且仅当线性相关时,等号才成立. 2.度量矩阵是正定的,不同基的度量矩阵是合同的. 3. 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基. 4.对于维欧氏空间中任意一组基,都可以找到一组正交基使 其中 5. 6. 是维欧氏空间的一组标准正交基 基的度量矩阵为单位矩阵. 存在标准正交基及正交矩阵.使 7.两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同. 8.设 (1) (2) (3)如果是标准正交基,那么也是标准正交基; (4) 9.如果子空间 10. 11. 12. 13.对于任意一个成对角形. 14.任意一个实二次型 都可以经过正交的线性替换变成平方和 . 其中平方项的系数 15.线性方程组 16.埃尔米特矩阵的特征值为实数,它的属于不同特征值的特征向量必正交. 17.若 是对角形矩阵. 18.对埃尔米特二次型 必有酉矩阵 19.设是的一组基, 是中任意个数,存在唯一的上线性函数,使 20.设及是线性空间的两组基,它们的对偶基分别为及.如果由到的过渡矩阵为,那么由到的过渡矩阵为 21. 是一个线性空间, **是的对偶空间的对偶空间, 到**的映射 是一个同构映射. 22.同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的. 23.双线性函数是非退化的充要条件为其度量矩阵为非退化矩阵. 24.设是数域上维线性空间,是上对称双线性函数,则存在的一组基,使在这组基下的矩阵为对角矩阵. 25.设是复数域上维线性空间, 是上对称双线性函数,则存在的一组基,对中任意向量 26.设是实数域上维线性空间, 是上对称双线性函数,则存在的一组基,对中任意向量 27.设是维线性空间上的反对称双线性函数,则存在的一组基使 三、基本方法 1.常用的欧氏空间 (1)线性空间,对如下定义的内积构成欧化空间. (2)线性空间对如下定义的内