从特殊三棱锥到一般三棱锥问题.ppt

* 解三棱锥 三棱锥对于多面体，如同三角形对于多边形. 三角形为多边形之根，三棱锥为多面体之根. 注意，三棱锥是个四面体，有4个面、6条棱. 图形的认识，从特殊到一般： （1）三棱锥中最特殊的是正四面体，次特殊的是正三棱锥. （3）与直三角形对应的有直三棱锥. （2）与等腰直角三角形对应的有“正直三棱锥”. （4）与等腰三角形对应的有“等腰四面体”. 解正四面体 正四面体化归为正方体求解. 在正方体 ABCD - A1B1C1D1中， 由6条面对角线 A1D、 BC1 、A1C1、 BD、A1B、DC1为棱的四面体即为 正四面体 A1 - BC1D. 正四面体A1- BC1D的棱长为1的正方体 ABCD - A1B1C1D1 棱长的 倍 ；体积为正方体的1/3；且有公共的外接球，公共的中心和相等的外半径 . “正直”三棱锥 我们把“三条侧棱相等且两两垂直的三棱锥”称作“正直三棱锥”. 它的三个侧面是全等的等腰直角三角形，1个底面是正三角形.正直棱锥的直观图画法有“立式”（左）和“卧式”（右）两种. 立式图中，1个侧面置于水平位置. 可以清楚地看到它在对应的正方体中的位置；卧式图中，它的底面置于水平位置，便于在竖直方向显示底面上的高线. 解正直三棱锥 化为正方体求解 一、线线关系： （1）相交垂直：AD⊥DD1 （2）相交45°：AD与AD1 （3）相交60°：AD1与AC （4）异面垂直 AC与DD1 距离为 /2 二、线面关系 （1）垂直：AD与DCD1 （2）交成45 °：AD与ACD1 三、面面关系 （1）垂直：三侧面两两之间 （2）交成arctan ：如平面ACD1与平面ACD 正直三棱锥的高线 【题目】 若正直三棱锥V-ABC的侧棱长为VA=1. 求它高线VH的长度. 设斜高在 △ ABC上的射影为H，则H为△ ABC的中心. 【解1】 （斜高法） 正直三棱锥V-ABC 中，易知AB = BC = CA = 斜高VD = /2 故有 高线 【说明】 正直三棱锥的高线长为外接正方体对角线长 的1/3 . 【题目】 若正直三棱锥V-ABC的侧棱长为VA=1. 求它高线VH的长度. 【解2】 （等积法）立式图中， 易知正直三棱锥的体积为 【证明】 等积法常用来“求点到平面的距离”. 又 故 得 正直三棱锥的外接球 【题目】 正直三棱锥的侧棱长为1，求其外半径长. 正直三棱锥与其外接正方体有共同的外接球，因此“单位正直三棱锥”与单位正方体有共同的外半径 . 一般探讨为 【解答】 易知正直三棱锥的“外心”O 在高线VH 的延长线上. 设 VO = CO =x，则 HO = 又 由 OC 2 = HO2 +HC2 得 解得 考题展示 【考题】 （2006年川卷第13题） 【分析】 已知的三棱锥为正直三棱锥. 【解1】 立式图如右，OM 在ABC上射影为MC，OM与ABC的成角为∠OMC. 【说明】 线面角（OM与ABC成角）化为线线角（OM与MC）亦即面面角（C - AB - O）. 在三棱锥O - ABC，三条棱OA、OB、OC 两两垂直且相等. M为AB 的中点. 则OM与平面ABC的成角的大小为 . 设OC =a，则OM = 故∠OMC = arctan （答案） 【考题】 （2006年川卷第13题） 【分析】 已知的三棱锥为正直三棱锥. 【解2】 卧式图如右，H为底面正三角形ABC的中心. 【说明】 本法容易误入迁解. 如先求OH和MH的长度. 在三棱锥O - ABC，三条棱OA、OB、OC 两两垂直且相等. M为AB的中点. 则OM 与平面ABC的成角的大小为 . 得∠OMC = arctan （答案） OM与ABC的成角为∠OMC. 正方体内接三棱锥的个数 【问题】 以正方体8个顶点中的4个顶点作三棱锥，这样的三棱锥称正方体的内接三棱锥. 求正方体内接三棱锥的个数. 其中，共面的4点的个数是 （1）正方体的6个面；（2）正方体的6个对角面. 故正方体的内接三棱锥有 70 – 12 = 58 （个） 【答案】 从8个顶点中任取4个的组合数为 【说明】 这58个三棱锥与正方体同外心，共外接球. “长棱”三棱锥 正方体内接三棱锥可分四类. 除了内接正四面体和内接正直三棱锥外，还有两类. （1）斜三棱锥(图左). （2）底面为直三角形的直三棱锥(图右). 它们各有1条长度为 的“长棱”，其外心在长棱的中点上. 直正三棱锥 底面为正三角形，且有一条侧棱垂直于底面的三棱锥称作“直正三棱锥”. 确定一个“直