第18讲误差方程式-四川建筑职业技术学院.DOC

第18讲 误差方程 本小节介绍未知参数的确定，典型观测值误差方程的列立，是间接平差方法应用的基础。确定未知数的个数将所有观测值都表示为未知参数函数的前提是，未知数足数并且函数独立。由于对于一个平差问题，能并且只能设置t个函数独立的未知参数，所以确定未知数个数实际上就是确定必要观测数。未知数的选择由于运用最小二乘准则求特解时，采用的是求自由极值原理，所以各待定参数间要求函数独立，即任意一个待定参数不可表示为其余参数的函数。理论上讲，待定参数可选满足函数独立要求的任意观测值平差值或非观测值。但实际上在高程网平差时中，我们总是选待定点高程作为未知参数；在水平控制网平差时，我们总是选待定点坐标为未知参数。在这种情况下，待定参数间一定函数独立。列出平差值方程和线性误差方程选定未知参数后根据未知参数与观测值平差值间应满足的几何或物理关系，即可列出平差值方程和误差方程。当误差方程中常数项有效数字位数较多时，会导致计算不便。为了简化计算，可以引入未知数近似值注意：在整个平差过程中应采用同一组近似值，否则将得不到正确结果。 解：（1）根据题意得：必要观测数为t=2 （2）选取待定点P1、P2的高程为未知参数，选取未知参数的近似值为 （3）列平差值方程 故误差方程为： 列立水准网误差方程的步骤： （1）根据具体平差问题，确定必要观测数t； （2）选取t个待定点高程作为未知参数，确定未知参数的近似值； （3）列立平差值方程和误差方程。 2 测角网误差方程 测角网按照间接平差法平差，在待定点之间不存在已知关系情况下，通常选择待定点的的纵、横坐标作为参数。 下图所示任一角度观测值 Li，j、k、h均为待定点。 设其坐标 为未知参数，则 其中 故 j、k、h是待定点，它们的近似坐标为。根据这些近似坐标可以计算j、k和j、h两点间的近似坐标方位角和近似边长。设这三点的近似坐标改正数为，即 由近似坐标改正数引起的近似坐标方位角的改正数为，即 其中： 泰勒级数展开，得： 由 得 同理得 将的单位由弧度转化为秒，得： 则，误差方程： 即 则，误差方程的一般形式为： 即 在实际平差计算时，可根据观测角的3个端点是已知点还是待定点而灵活应用。 将测角网坐标平差误差方程的特点总结如下： （1）若测站点j为已知点，则，Li的误差方程为： （2）若两照准点均为已知点，则，于是误差方程为： （3）若有一个照准点为已知点，则或，Li的误差方程为： 或，则误差方程为： （4）若j、k、h均为待定点，Li的误差方程为： （5）同一边的正反坐标方位角的改正数相等，即 于是得： 根据这一性质，实际计算时，对每条待定边只是计算一个坐标方位角改正数方程即可。 （6）坐标方位角改正数方程的其他表示形式： 将代入，则 设则 坐标改正数与的系数，与的系数，它们的数值相等，符号相反。因此，实际计算时，对每一条边，只需求和，代入上式即可得该边的坐标方位角改正数方程。 综上所述，对于角度观测的三角网，采用间接平差，选择待定点的坐标为参数时，列误差方程的步骤为： （1）计算各待定点的近似坐标； （2）由待定点的近似坐标和已知点的坐标计算各待定边的近似坐标方位角和近似边长； （3） 列出各待定边的坐标方位角改正数方程，并计算其系数； （4） 列出各观测角误差方程式，算出误差方程的系数和常数项。 【例4-3】下图所示某三角网，图中A、B、C点已知，起算数据见表4-2，同精度观测6个角度L1，L2，…，L6，观测值见表4-3，试列出测角网坐标平差的误差方程。 解： 根据题意知：n=6，t=2，选取D点的坐标为未知参数 （1）由已知点B、A及观测角L3、L2，按余切公式计算待定点D的近似坐标 （2）由已知点坐标及待定点的近似坐标计算各待定边的近似坐标方位角和近似边长，见下表。 （3）计算各待定边的坐标方位角和改正数方程的系数，见表4-4，DA、DB、DC的坐标方位角改正数方程分别为： （4）观测值误差方程为： 则误差方程为： 2 测边网误差方程 如上图所示，测得待定点间的边长，设待定点的坐标平差值为参数，则 其中则有 设j、k的近似坐标，设近似坐标改正数， 则 其中 泰勒级数展开： 令 则 则测边网坐标平差误差方程式的一般形式： （1） 若某边的两端点均为待定点，上式就是该观测边的误差方程。式中，与的系数的绝对值相等，与的系数的绝对值也相等。常数项等于该边的观测值减其近似值。 （2）若j为已知点，则，得 若k为已知点，则，得 若j、k均为已知点，则该边为固定边（不观测），故对该边不需要列误差方程。 （3）某边的误差方程，按jk向列立或按kj向列立的结果相同。 jk方向误差方程为 kj方向误差方程为 两误差方程相等 列测边网误差方程的步骤为： （1）计算待定点近似坐标；（2）由已知点坐标和待定点近