用R也能做精算—actuar包学习笔记2损失分布-统计之都.PDF

用R 也能做精算—actuar 包学习笔记 （二） 李皞 （中国人民大学统计学院 风险管理与精算） 2.损失分布 2.1 损失分布种类 根据损失额的特征，损失分布常选用具有非负支集（密度函数 的支集指的是使得 的x 的集合）的连续分布。R 中对于一些分布提供了d，p，q，r 四种函数，分别 是密度函数、分布函数、分布函数的反函数（分位数）和生成该分布的随机数。actuar 包 提供了与Loss Models （Klugman 等，2009）的附录A 中所列示的连续分布族相配套的 这四种函数（除去逆高斯和对数t 分布，但包括对数Gamma 分布），这些分布中R 的基础 包 stats 中并不自带，但有些分布在精算研究中却很重要（比如pareto 分布）。此外， actuar 包还对这些连续分布提供了m、lev和mgf 三种函数，m 是计算理论原点矩，lev 是计算有限期望值，mgf 是计算矩母函数。密度函数、分布函数、原点矩、有限期望值及其 1 k 次方都可以通过查表得到 。 对于经验数据，如上面介绍 actuar 包中提供了emm 和elev 来计算经验原点矩和经 验有限期望值（这两个函数的前缀都是empirical）。 需要注意的是，这些分布有的需要指定 rate 参数或 scale 参数，scale=1/rate， 因此两者在本质上是等价的，Loss Models 的附录A 中使用的是scale 参数，在指定参 数时千万不要弄混。 例子： #这里以双参数pareto 分布为例 par(mfrow=c(1,2)) #绘制密度函数曲线 curve(dpareto(x, shape=2,scale=2),from=0.001,to=6, main=density function) #绘制分布函数曲线 curve(ppareto(x, shape=2, scale=2),from=0.001,to=6, main=cumulative distribution function) 1 /files/pdf/edu-2009-fall-exam-c-table.pdf #求pareto分布中位数 qpareto(0.5, shape=2, scale=2) [1] 0.8284271 #生成5个pareto分布随机数 rpareto(5, shape=2, scale=2) [1] 1.4223168 0.1153321 0.1013023 2.7571208 1.8178389 #求 ，注意pareto分布k阶矩要求 ，order=k， 是shape参数 mpareto(order=1.5, shape=2, scale=2) #求 ，注意同样要求 ，order=k， 是shape参数 levpareto(limit=5, shape=2, scale=2, order = 1.5) [1] 2.355089 #指数分布矩母函数，均值=1/2。矩母函数形式为 ， 为rate参数。 curve(mgfexp(x, rate = 2),-1,1) 2.2 损失分布的估计 矩估计和极大似然估计是分布参数估计的基本方法。在R 中，MASS 包中的fitdistr 函数可以进行极大似然估计。在 actuar 包中，mde 函数则提供了三种基于距离最小化的 分布拟合方法（minium distance estimates）。 1）Cramér-von Mises 方法（CvM）最小化理论分布函数和经验分布函数（对于分组数 据是ogive）的距离。 未分组数据： (1) 分组数据： (2) 在这里， 是理论分布函数， 是其参数；