试验七偶合摆.PDF

實驗七 偶合擺 目的 (1)研習物體擺動之特性 ，以及二相同且互相偶合的單擺，擺動時之特異行 為(如本徵模式與頻率) ，並藉其決定重力加速度。(2)暸解自然界之偶合振子的行 為。 原理 偶合振子的行為常見於自然界，尤其於生物體內或生物界，如蟋蟀之一齊鳴 叫、螢火蟲之同步閃光等。偶合振盪行為最早由荷蘭物理學家惠更斯發現，他注 意到兩擺鐘如靠近併排懸掛時，終究會同步擺動 ；否則，兩擺鐘會不同步。欲瞭 解此偶合振盪行為，首先須從瞭解單一振子之行為著手 ；本實驗以物理擺為振 子，而以彈簧連接兩等同擺以產生偶合擺動，藉此以瞭解偶合振子之行為。 一物體受重力作用所產生之力矩，可視為所有的重力皆作用在重心(質心) 。 當此物體某點(懸點)固定時，並能自由地繞此懸點轉動，就構成一物理擺 。物理 擺受到一回復力矩τ ，此力矩與重心偏離鉛直線之方向相反，因此此物理擺會 g 來回返覆擺動(如圖 1) ，其運動方程式為 d 2θ τg Iα, I 2 −MgL sinθ （１） dt 式中θ為重心至懸點連線與鉛直線之夾角，而α與 分別為角加速度與重力τ g 力矩，Ｍ與Ｌ為各物理擺之質量與重心至懸點的距離(擺長) ，以及I 為轉動慣量。 當小角度擺動( θ1)時，(1) 式可簡化成 d 2θ I 2 −MgLθ （２） dt 明顯地，此擺動為簡諧的，其角度與時間的關係為 2 （３） θ θ cos(ωt +φ),ω MgL / I A 式中。θA 為擺動之最大角度量值或振幅 ，ψ為相位常數，ω為角頻率，而ω與 頻率ｆ及周期Ｔ之關係為 ω=2 πｆ=2 π/ Ｔ 圖1: 物理擺之擺動。 圖2:偶合擺之擺動。 41 當兩個物理擺之間有一偶合機制(如透過彈簧)存在時(如圖2 所示，稱為偶 合擺) ，兩個物理擺之擺動，會彼此影響，因而產生迥異於單個物理擺之擺動行 為，而此行為與擺動之起始條件有關。為了數學分析簡易起見，在此只考慮兩全 同擺(質量與擺長相等)之三種偶合擺動，令其擺動起始條件(t = 0)分別為 ⋅ ⋅ (甲)同相(步)擺動 ： θ θ θ , θ θ 0 1 2 A 1 2 ⋅ ⋅ (乙)其相擺動 : θ −θ θ , θ θ 0 1 2 A 1 2 ⋅ ⋅ (丙)拍擺動 . θ θ ,θ 0, θ θ 0 1 A 2 1 2 式中下標l 及2 分別代表擺 1 及2 。偶