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第一章 行列式§1.1 行列式的定义 1.1.1 二阶行列式的定义 设二元方程组 （1.1） 其中 表示未知量， 表示未 知量的系数， 表示常数项。用代入消元法,从 （1.1）式中消去 ，得 当 时，得 ， 同样地，从（1.1）式中消去 ，得 引入记号： 　（1.2） 称 为二阶行列式。于是二元一次方程组的解可表示 为， 若用 表示把中的第 j 列换成（1.1）式右边的常 数列所得的行列式，则当D≠0时,二元一次方程组 （1.1）的唯一解可简单的表示为 例1 用二阶行列式解二元一次方程组 解 计算二阶行列式 由 知方程组有唯一解： 1.1.2 n 阶行列式的定义 由于用行列式来表示二元一次方程组的解有简 单明了的优点，所以我们希望也能用它把一般的n 元一次方程组的解表示出来。 为了避免繁琐的分析，我们直接归纳出n 阶行列式的定义，记 它有n行n列（共n2个元素）组成，称之为n阶行列式。 表示 n 阶行列式 D中划去第 i 行第 j列后剩下的 n-1行 n-1 列元素组成的 n-1阶行列式，即 称为元素 的余子式，称 为元素 的代数 余子式。 下面我们可以归纳地定义n阶行列式的值。 定义1.1 由（1.1）给出，定义 显然，对于任意正整数 n，（1.4）式给出了一个 计算 n 阶行列式的方法：将 n 阶行列式化为 n-1阶,再 化为n-2 阶，……..，最后便可求出D的值。因为（1.4） 式中，使用了行列式的第一列元素 ，故 （1.4）式成为D依第一列的展开式 。 当n=2时，上述 n 阶行列式的定义与1.1.1中介 绍的二阶行列式的定义是一致的。 当n=3时 例3 求下列行列式的值： 这个行列式称为上三角形行列式，它的特点是当 时，或者说这个行列式主对角线（即所占的一条对角 线）一下的元素都等于0. 解 这是一个 n 阶行列式，但它的第一列除a11外都 等于零，因此利用（1.4）式展开时只有一项不为零， 于是 容易看出a11的余子式 M11仍是一个上三角形行列 式，只是阶数比 D小 1，因此又可用同样的方法求得 这样一直做下去，不难求得 即上三角行行列式的值正好等于其主对角线上 元素的乘积。 特别地，有 像这样的主对角线外地元素皆是零的行列式称 为对角行列式。 在n阶行列式的定义1.1中，（1.4）式是依第 一列展开的，是否可以依其它列展开呢？我们有 定理1.1 设D是如（1.3）所示的 n 阶行列式， 则对任意的 ，都有 其中Mij，Aij分别表示D中元素aij的余子式与代数余 子式，这是D依任意一列的展开式． 其证明相当繁琐，这里略去不证． * * *