三角恒等式及三角不等式.docVIP

三角恒等式与三角不等式 一、基础知识 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。 定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数secα=,余割函数cscα= 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=； 商数关系：tanα=； 乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα； 平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα; （Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin=cosα, cos=sinα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。 单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数， 最小正周期：2. 奇偶性：奇函数 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1，值域为[-1，1]。 对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心。这里k∈Z. 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。 单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。 最小正周期：2π。 奇偶性：偶函数。 有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。 对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。这里k∈Z. 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。 定理6 两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ, sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ; tan(αβ)= 两角和与差的变式： 三角和的正切公式： 定理7 和差化积与积化和差公式: sinα+sinβ=2sincos, sinα-sinβ=2sincos, cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin, sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)], cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)], cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)], sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 定理8 二倍角公式：sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α= 三倍角公式及变式：， ， 定理9 半角公式: sin=, cos=, tan== 定理10 万能公式: , , 定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β， 则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.asinα+bcosα=sin(α+β). 定理12 正弦定理：在任意△ABC中有， 其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。 定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。 定理14 射影定理：在任意△ABC中有，， 定理15 欧拉定理：在任意△ABC中，，其中O