已知椭圆和点, 是椭圆上的两个动点,若直线的斜率存在,且和为,求证.docVIP

解析几何的解题策略选择 吴江高级中学 陈群峰 一、复习要点 解析几何中，一类与两直线斜率有关的圆锥曲线综合问题求解的基本策略. 二、基础训练 1. 过原点作直线与椭圆交于两点，点是椭圆上一点，且直线斜率均存在，则 . 2. 过原点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于与，则四边形面积的最小值为 . 三、典型例题 例1 （2013苏北四市期末18题）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点. 求椭圆的方程； 若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆 上异于，的任意一点，直线交于点 （ⅰ）设直线的斜率为直线的斜率为，求证：为定值； （ⅱ）设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 已知中心在原点的椭圆过点和点, （1）求椭圆的标准方程 （2）是椭圆上的两个动点,若直线的斜率存在,且和为,求证:直线过定点. 例3　（2013常州期末18题）如图，在平面直角坐标系中，已知分别是椭圆E:的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且. （1）求椭圆E的离心率； （2）已知点为线段的中点，M 为椭圆上的动点（异于点、），连接并延长交椭圆于点，连接、并分别延长交椭圆于点、，连接，设直线、的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 四、巩固习题 1.已知椭圆的离心率，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的一点，直线斜倾角分别为、，则= ．已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(1，)．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点． 求椭圆的标准方程；若P为线段AB的中点，求k1； 若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标． , 在平面直角坐标系中, 已知椭圆经过点,椭圆的离心率, 、分别是椭圆的左、右焦点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作两直线与椭圆分别交于相异两点、. 若的平分线与轴平行, 试探究直线的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由. 4.（2012镇江高考模拟）已知椭圆G：(ab0)的离心率为，右焦点F(1,0)．过点F作斜率为k（k(0）的直线l，交椭圆G于A、B两点，M（2,0）是一个定点．如图所示，连AM、BM，分别交椭圆G于C、D[两点（不同于A、B），记直线CD的斜率为． (Ⅰ)求椭圆G的方程； (Ⅱ)在直线l的斜率k变化的过程中，是否存在一 个常数，使得恒成立？若存在，求出 这个常数；若不存在，请说明理由． 由题意得 ，，又，消去可得，，解得（舍去），则， 椭圆的方程为设，，则，三点共线，， 所以，，在椭圆上，，故为定值直线的斜率为直线的斜率为, 则直线方程为 ==， 所以直线过定点方程为则. ,则直线方程为：， 即，直线过定点. 例2 解：（1）设椭圆方程：，椭圆过点和点，则，解得，所以椭圆的标准方程为 （2）设直线的斜率分别为和(且) ,则直线的方程为 ,设 由,消去得, 由题意,, 则, 同理可求得, 法一:取得,求得直线方程为, 取得,求得直线方程为, 求得以上两直线交点为.则 , . 即点共线. 直线过定点. 法二: . 则直线方程为化简得,所以直线过定点. 例3　解：（1），.，化简得， 故椭圆E的离心率为. （2）存在满足条件的常数，.点为线段的中点，，从而，，左焦点，椭圆E的方程为.设，，，，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，.，.从而，故点.同理，点.三点、、共线，，从而.从而.故，从而存在满足条件的常数，. 六、选题说明 很多学生对于解析几何综合问题几乎到了谈虎色变的地步.究其原因，可以概括为三条：“想不到”，“消不去”和“算不对”.“想不到”的客观原因是解析几何综合问题包含的信息量大，既有几何关系，又有代数关系，两个领域之间的联系隐藏性强；主观原因是学生没有掌握解析几何的思维特征与基本思想，对于题目中的几何关系、代数关系不能准确转化.解析几何很多问题的解题思路最终可归结为设点或设斜率，那么什么时候该设点，什么时候该设斜率？其实，原则上很多问题设点，设斜率都可行的.那么，怎样选择更适合一般学生的求解思路，让其能更快地找到解题的方向，看到解题的希望，这是我们应该探索的问题. 本节课从两个基础训练开始，基础训练1是用设点求解的典型题（当然也可以用特殊值法），基础训练2是用设斜率求解的典型题.归纳两题特点：基础训练1是探求斜率关系，设点以表示斜率；基础训练2中两直线斜率关系确定，设斜率以表示点.进而总结一般的设法策略. 例1的第（2）小题的ⅰ，是基础训练1的直接变式，第（2）小题的ⅱ学生做时设点，设斜率都可以轻松