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第3章 离散傅立叶变换 DFS DFS的性质 DFT DFT的性质 圆周卷积 利用DFT计算线性卷积 频率域抽样 有限长序列的傅里叶分析 2. 连续时间非周期信号 3. 离散非周期信号 4. 周期为N 的离散周期信号 离散傅里叶级数（DFS） 则DFS变换对可写为 离散傅里叶变换（DFT） 频域上的主值区间与主值序列： 离散傅里叶变换的性质 DFT时域循环位移特性 3. 对称性(symmetry) 序列DFT与z变换的关系 利用DFT计算线性卷积 线性卷积的矩阵表示 循环卷积的矩阵表示 循环卷积的矩阵表示 若x[k]的长度为N，h[k]的长度为M，则L=N+M-1点循环卷积等于x[k] 与h[k]的线性卷积。 线性卷积的矩阵表示 循环卷积的矩阵表示 y0[k]中的[M-1, L-1]点对应于线性卷积 x[k]*h[k]中的[0 , L-M]点 例 已知序列x[k]=k+2,0?k?12, h[k]={1,2,1}试分别利用重叠相加和保留法计算线性卷积, 取L=5 。 解: 重叠保留法 DFT频域循环位移特性 周期共轭对称(Periodic conjugate symmetry)定义为 周期共轭反对称(Periodic conjugate antisymmetry)定义为 当序列x[k]为实序列时，周期偶对称序列满足 当序列x[k]为实序列时，周期奇对称序列满足 对称特性 当x[k]是实序列时 4.循环卷积 h[(-n)N] h[(1-n)N] h[(2-n)N] h[(3-n)N] 卷积定理 x[k]的 X[m]等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔取样 设序列x[k]的长度为N ] [ m X ? ? ? ? IDFT ] [ k x ? ? ? ? ? 变换 Z ) ( z X (内插公式) 问题提出: 实际需要： LTI系统响应 y[k]=x [k]?h[k] 可否利用DFT计算线性卷积？ 例：x1[k]={1,1,1}, x 2[k]={1,1,0,1} , N=4 一、两个有限长序列的线性卷积 直接计算与由DFT间接计算结果比较 若x1[k]为 M 点序列, x2[k]为L 点序列 ， LM x1[k] L x2[k]中哪些点不是线性卷积的点? 问题讨论 0? k ? M-2不是线性卷积的结果，即前(M-1)个点与线性卷积不一样。 x1[k] L x2[k] k=0 ~M-2, 前M-1个点不是线性卷积的点 k= M-1 ~ L-1 , L-M+1个点与线性卷积的点对应 线性卷积 L ~ L+M-2 后M -1点没有计算 则L点循环卷积 结论 若x1[k]为 M 点序列, x2[k]为L 点序列 ， LM 长序列和短序列的线性卷积 直接利用DFT计算的缺点： (1) 信号要全部输入后才能进行计算，延迟太多 (2) 内存要求大 (3) 算法效率不高 解决问题方法：采用分段卷积 分段卷积可采用重叠相加法 和 重叠保留法 1. 重叠相加（overlap add） 将长序列x[k] 分为若干段长度为L的序列 其中 y0[k]的非零范围 y1[k-L]的非零范围 序列 y0[k], y1[k]的重叠部分 重叠的点数 L+M-2-L+1=M-1 依次将相邻两段的M-1个重叠点相加，即得到最终的线性卷积结果。 重叠相加法分段卷积举例 方法： (1) 将x[k]长序列分段，每段长度为L； (2) 各段序列xn[k]与 M点短序列h[k]循环卷积； (3) 从各段循环卷积中提取线性卷积结果。 2.重叠保留法(overlap save) 前M-1个点不是线性卷积的点 因 yn[k]=xn [k] L h[k] 故分段时，每段与其前一段有M-1个点重叠。 - - x [ k ( M 1)] M - 1 - - L ( M 1) L - 1 x 0 [ k ] x 1 [ k ] 2 L - M k 第一段前需补M-1个零 记 yn[k] =xn [k] L h[k] y1[k]中的[M-1, L-1]点对应于线性卷积 x[k]*h[k]中的 [ L-(M-1), 2L-M-(M-1)]点 * * 一、四种信号傅里叶表示 1. 周期为T0的连续时间周期信号 频谱特点： 离散非周期谱 频谱特点： 连续非周期谱 频谱特点： 周期为2?的连续谱 频谱特点：周期为N的离散谱 为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。 一个周期为N的周期序列，即