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方向導數和梯度 13.6 Directional Derivatives and Gradients Copyright © Cengage Learning. All rights reserved. 目標 求出雙變數函數的方向導數 求出雙變數函數的梯度(gradient) 梯度的應用 推廣方向導數與梯度到參變數函數 2 方向導數 Directional Derivative 3 方向導數 假設你站在山坡上，想知道山坡的坡度(傾斜度) 。 4 方向導數 假設山坡表示為z =f (x , y ) ，你應該已經會作主要兩個方向的斜 率。 y 方向的斜率可以由對y偏微分得到。 同樣地，藉由對x偏微分得到x方向的斜率。 使用這兩個偏微分可以求出任何方向的斜率。 5 方向導數 假設z =f (x , y ) 為一個曲面，P(x , y ) 為f 定義域內的一個點， 0 0 如下圖。 單位向量u = cos θi + sin θj 的斜率 ，其中θ是此向量與x軸正 向夾角。單位向量u 可以表示對任何 方向導數的方向。 Figure 13.43 6 方向導數 求u方向的斜率，可以考慮如下。 作一個通過P點、平行於u方向的垂直平面 ，如下圖。 該垂直平面與曲面z =f (x , y )相交於曲線C 。 曲面在點(x , y ,f (x , y ))上沿著 0 0 0 0 u方向的斜率就是曲線C在 點(x , y ,f (x , y ))的斜率。 0 0 0 0 Figure 13.44 7 方向導數 連接點P (x , y )與點Q (x , y ) 的直線L可以用參數式表示: 0 0 x = x0 + t cos θ 與 y = y 0 + t sin θ ， t 為任意時數，Q(x , y )則是直線L上的任一點。 對每一個點P和點Q在曲面上都會有一個相對應的點。 (x , y ,f (x , y )) Point above P 0 0 0 0 (x , y ,f (x , y )) Point above Q 8 方向導數 P和Q之間的距離為 連接點(x , y ,f (x , y )) 、點(x , y ,f (x , y ))的割線斜率，可以寫成 0 0 0 0 最後，讓t 趨近於0時，我們可以下列定義。 9 方向導數 定義: 方向導數(Directional Derivative) 設f (x ,y )為一個雙變數函數、u = cos θi