重庆大学《矩阵论》第十六讲.pdfVIP

第十六讲 主要内容: 相容线性方程组的通解，最小范 数解；不相容线性方程组得最小二乘解，极 小最小二乘解。 7.5 广义逆矩阵的应用 1 相容方程组的通解 定理1 设 ，线性方程组 (1) 是相容的，则(1)的通解为 其中 是任意确定的A{1}广义逆。特别的， 可取 为 ，从而 (1) 的通解为 。 证明 由于 是(1)的一个特解，故只需证 明 即 可 。 ， 存 在 使 得 ，从而 ，即 。反过来， ， ， 即 。 2 相容方程的最小范数解 定义 1 设 ，相容方程组(1)的欧式 范数最小的解称为(1)的最小范数解。 定理 2 相容方程组(1)的最小范数解是唯一 的，且可表为 ，其中 是任意确定的 A{1 ，3}广义逆。特别的， ，所 以相容方程组(1)的最小范数解是 。 证明 存在性。相容方程组(1) 的任意解为 所以 是最小范数解。 唯一性。设 是一个最小范数解，则存 在 使得 ，由 前面的计算知 ，由 是一个最小范数解，所以 ,从而 。 3 不相容线性方程组的最小二乘解 若方程组(1)无解，称其为不相容的。称 使欧式范数 最小的 为不相容线性 方程组(1)的最小二乘解。 定理 3 是不相容线性方程组的最小二 乘解。 证明 而 所以 即 是最小二乘解。 最小二乘解一般不唯一。 定理 4 是方程组 的最小二乘解的 充要条件是 是方程组 的解。 证明 必要性由定理3 立得。充当分性。若 是方程组 的解，则 ，即 是方程组 的最 小二乘解。 定理 5 不相容方程组 的最小二乘解 的通式为 。 特别的，可取 ，则得 的最小二乘解通式为 。 证明 由定理4 和定理1 里的结论。 4 不相容线性方程组的极小