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jkhh Confidential, for review only 2.1 拉格朗日插值 2.2 插值余项 2.3 分段插值 2.4 牛顿插值 2.5 等距结点插值 问题的提出 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi) 或者给出函数表 例2.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用抛物插值公式, 求 第2章 插值 y=f(x) y=p(x) yn …… y2 y1 y0 y xn …… x2 x1 x0 x 插值法的基本原理 设函数y=f(x)定义在区间[a, b]上, 是[a, b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值为已知 ,即 。若存在一个f(x)的近似函数 ,满足 则称 为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插函数, 点xi为插值节点, 称(1)式为插值条件, 而误差函数 R(x)= 称为插值余项, 区间[a, b]称为插值 区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插。 (1) 插值函数 在n+1个互异插值节点 (i=0,1,…, n ) 处与 相等,在其它点x就用 的值作为f(x)的近似值。这一过程称为插值，点x称为插值点。换句话说,插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。 用 的值作为f(x)的近似值,不仅希望 能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单 。由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点，所以本章主要介绍代数插值。即求一个次数不超过n次的多项式： 满足 则称Pn(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称为代数插值法。其几何意义如下图所示 若 定理 n次代数插值问题的解是存在且惟一的 证明: 设n次多项式 是函数 在区间[a, b]上的n+1个互异的节点 (i=0,1,2,…,n )上的插值多项式,则求插值多项式Pn(x)的问题就归结为求它的系数 (i=0,1,2,…,n)。 由插值条件: (i=0,1,2,…,n),可得 (2-1) 这是一个关于待定参数 的n+1阶线性方 程组,其系数矩阵行列式为 称为Vandermonde（范德蒙）行列式。 因xi≠xj（当i≠j时），故V≠0。根据解线性方程组的克莱姆（Gramer）法则，方程组的解 存在且惟一，从而Pn(x)被惟一确定。 惟一性说明，不论用何种方法来构造，也不论用何种形式来表示插值多项式,只要满足插值条件(1)，其结果都是相互恒等的。 2.1 拉格朗日（Lagrange）插值 为了构造满足插值条件 (i=0,1,2,…,n ) 的便于使用的插值多项式Pn(x),先考察几种简单情形, 然后再推广到一般形式。 2.1.2 线性插值 线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数 f(x)在两个互异的点 ， 的值， ,现要求用线性函数 近似地代替f(x)。 选择参数a和b, 使 ,称这样的线性函数P1(x)为f(x)的线性插值函数 。 线性插值的几何意义:用通过点 和 的直线近似地代替曲线 y=f(x)。由解析几何知道, 这条直线可用点斜式表示为 为了便于推广，记 这是一次函 数,且有性质 与 称为线性插值基函数。且有 于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合 例2.1 已知 ， ，求 解: 这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用线性插值 2.1.3 抛物插值 抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之一。设已知f(x)在三个互异点x0，x1，x2的函数值y0，y1，y2，要构造次数不超过二次的多项式 使其满足二次插值条件： 这就是二次插值问题。 其几何意义是用经过3个点 的抛物线 近似代替曲线 ,如下图所示。因此也称之为抛物插值。 P2(x)的参数 直接由插值条件决定， 即 满足下面 的代数方程组： 该三元一次方程组的 系数矩阵