2014-计算力学-9-板壳问题.ppt

? 板壳问题 平板弯曲问题 矩形单元 壳体弯曲问题 在弹性力学里，把两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体称为平板，简称为板，如图9-1所示。两个板面之间的距离t称为板的厚度，而平分厚度t的平面称为板的中间平面，简称中面。如果板的厚度t远小于中面的最小尺寸b（如小于b/8～b/5），该板就称为薄板，否则就为厚板。 平板弯曲问题 图9-1 平板结构 当薄板受有一般载荷时，总可将载荷分解为两个分量： 一个是作用在薄板的中面之内的所谓纵向载荷，另一个是垂直于中面的所谓横向载荷。 对于纵向载荷，可以认为它们沿厚度方向均匀分布，因而它们所引起的应力、应变和位移，都可以按平面应力问题进行计算。 而横向载荷将使薄板产生弯曲，所引起的应力、应变和位移，可以按薄板弯曲问题进行计算。 平板弯曲问题 对于薄板，通过一些计算假定已建立了一套完整的理论，可用于计算工程上的问题。 但对于厚板，还没有便于解决工程问题的可行计算方案。 在薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板的弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移称为挠度。线弹性薄板理论只讨论所谓的小挠度弯曲的情况。即，薄板虽然很薄，但仍然具有相当的弯曲刚度，因而它的挠度远小于它的厚度。如果薄板的弯曲刚度很小，以至于其挠度与厚度属于同阶大小，则必须建立所谓的大挠度弯曲理论（大变形理论）。 薄板的小挠度弯曲理论，是以三个计算假定为基础的（事实上这些假定已被大量的实验所证实）。取薄板的中面为xy这些假定可陈述如下： ① 垂直与中面方向的正应变（即应变分量?z ）极其微小，可以忽略不计。取?z =0,则由几何方程第三式得 ，故有 w = w (x, y) 平板弯曲问题 这说明，在中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有各点都具有相同的位移w，且等于挠度。 ② 应力分量?zx 、?zy 和?z 远小于其余三个应力分量，因而是次要的，由它们所引起的应变可以忽略不计（但它们本身却是维持平衡所必须的，不能不计）。这样有： 由几何方程得 故有 平板弯曲问题 由于?z =0， ，所以中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，成为弹性曲面的法线。此外，由于不计?z 所引起的应变，故其物理方程为 可见，薄板弯曲问题的物理方程与薄板平面应力问题的物理方程是一样的。 因 ，故有 这就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在 xy 面上的投影形状却保持不变。 平板弯曲问题 ③ 薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即 按薄板弯曲的基本假定，板内各点的位移为： （9-1） 可见，在平板中面各点u = v = 0，即不产生平面方向的位移，这就是说中面在受力后不会伸长。同时，因为平板中面的挠度w与坐标 z 无关，所以它代表了板内各点的挠度。 板内各点的应变分量和应力分量分别为： （9-2） 矩形单元 [D]是平板的弹性矩阵，与平面应力问题中弹性矩阵完全相同。 若用Mx、My和Mxy表示单位宽度上的内力矩，则 （9-3） 矩形单元 平板应力可用内力矩表示为 （9-4） 矩形单元的位移模式 若将平板中面用一系列矩形单元进行离散化，便可得到一个离散的平板系统。欲使各单元在节点上的挠度及其斜率具有连续性，必须把挠度及其在x和y方向上的一阶偏导数指定为节点位移（称为广义位移）。这样，节点i的位移及其与之对应的节点力可表示为： 矩形单元 一般规定，挠度w和与之对应的节点力W以沿轴的正向为正，转角θx和θy与之对应的节点力矩Mθx、Mθy按右手定则标出的矢量沿坐标轴正方向为正。 矩形单元每个节点有三个位移分量，而每个单元有四个节点共有十二个节点位移分量。所以，应选取含有十二个参数的多项式作为平板单元的位移模式，即 （9-6） 由此得到： （9-7） 矩形单元 其中 a和b分别是单元的长和宽。将单元的四个节点坐标分别代入（9-6）和（9-7）式，即可求得位移模式中的12个参数，再代入（9-6）式，得 式中 [N]=[ [N]1 [N]2 [N]3 [N]4] , , 且 [N]i =[ Ni Nxi Nyi] (i = 1,2,3,4) 其中 式中 ， 。 （9-8） 矩形单元 矩形单元的刚度矩阵 矩形单元的刚度矩阵可以写成如下形式： 其中子矩阵为： （9-9） 式中 矩形单元 矩形单元的等效节点力 当平板单元受有分布横向载荷q时，其相应的等效节点力为 （i = 1,2,3,4） （9-10） 若q = q0 为常量时，有 ，