二维图形观察与变换-Read.PPT

图形观察和变换 图形变换和观察是计算机图形学的基础内容之一。 图形变换是图形显示过程中不可缺少的一个环节。 通过图形变换可由简单图形生成复杂图形； 变换是描述图形的有力工具，可改变和管理各种图形的显示。例如： 通过调整组成部分的方向和大小来实现设计和设施布局； 动画则通过沿动画路径移动“照相机”或场景中的对象而产生； 在方向、尺寸和形状方面的变化是用改变对象坐标描述的几何变换来完成。 图形观察是通过指定一个图形中要显示的部分以及在显示器显示位置，并执行从世界坐标系到设备坐标系的图形变换及删除位于显示区域范围以外的图形部分而实现的。 基本几何变换：平移 平移是指：将物体沿直线路径从一个坐标位置到另一个坐标位置重定位。 给原始坐标位置(x,y)加上平移距离tx和ty来实现到新位置(x1,y1)的移动： x1 =x+tx， y1 =y+ty。 (tx,ty)称为平移向量或转换向量。 平移的矩阵方程： P1 =P+T T=(tx,ty)T, P =(x,y)T, P1 =(x1,y1)T 平移的特性 平移是不产生变形而移动物体的刚体变换，物体上的每个点移动相同的坐标。 直线的平移是将平移方程加到线的每个端点上； 多边形的平移是将平移向量加到每个顶点的坐标； 曲线可用同样方法来平移： 为了改变圆或椭圆的位置，可以平移中心坐标并在新中心位置重画图形； 通过替代定义曲线的坐标位置，而后用平移过的坐标点来重构曲线路径来实现其它曲线的平移。 基本几何变换：旋转 二维旋转是将物体沿xy平面内的圆弧路径重定位。 指定物体旋转的旋转点(或基准点)的位置(xr,yr)和旋转角θ(逆时针旋转时旋转角为正) 。 或：描述为绕通过基准点、垂直于xy平面的旋转轴旋转。 当基准点为坐标原点时，变换方程： x1=xcosθ-ysinθ, y1=xsinθ+ycosθ。 方程的列向量矩阵为：P1=R·P 旋转矩阵为： 变换也可表示为行坐标向量矩阵： P1T=(R · P)Ｔ＝PＴ·RＴ。 旋转矩阵R的转置RＴ可通过交换行和列而得到； 旋转矩阵R的置换则可简单地改变sin项符号而得到。 旋转变换的特性 点绕任意基准位置旋转的变换方程： x1=xr+(x- xr)cosθ-(y- yr)sinθ y1=yr+(x- xr)sinθ+(y- yr)cosθ 这个通用旋转方程不同于绕原点旋转方程之处在于:包括一个加项(平移项)以及坐标值上的多重系数。 旋转也是一种不变形地移动物体的刚体变换，物体上的所有点旋转相同的角度： 直线段旋转是将每个线端点； 多边形的旋转则是将每个顶点旋转指定的旋转角； 曲线的旋转则是旋转控制取样点。 基本几何变换：缩放 缩放变换改变物体的尺寸。该操作施加于多边形。 通过将每个顶点坐标值(x,y)乘以缩放系数sx和sy，产生变换的坐标(x1,y1)：x1=x·sx，y1＝y·sy。 缩放系数sx在x方向对物体缩放，sy在y方向缩放。 相对于原点的缩放矩阵形式：P1＝S·P 缩放矩阵： 缩放变换的特性 可选择一个在缩放变换后不改变位置的点(固定点)来控制缩放物体的位置。 固定点的坐标(xf,yf)可以选择顶点之一、物体中点或任何其它位置。 多边形通过缩放每个顶点到固定点的距离而相对于固定点缩放。坐标为(x,y)的顶点缩放后坐标(x1,y1)为： x1=x·sx+xf(1-sx)； y1=y·sy+yf(1-sy)； 其中：加法项xf(1-sx)和yf(1-sy)对物体中的任何点都是常数。 可此常数项的列向量，而后将这个列向量加到相对原点缩放方程中的乘积S·P上。 多边形的缩放可将变换应用于每个顶点。 其它物体变换则将缩放变换方程加到定义物体的参数。 变换的矩阵表示 每个基本变换都可表示为普通矩阵形式： P1＝M1·P＋M2。 坐标位置P1和P表示为列向量； 矩阵M1是一包含乘法系数的2×2矩阵； M2是包含平移项的两元素列矩阵。 对平移，M1是单位矩阵； 对旋转或缩放，M2包含与基准点或固定点相关的平移项。 利用这个方程产生先缩放再旋转后平移的变换顺序，必须每次一步地计算变换的坐标。 几何变换的齐次坐标 更有效的方法是将变换组合，使最后的坐标位置直接从初始坐标得到，消除中间坐标值的计算。 这就需消除M2中与平移项相关的矩阵加法。 扩充坐标的齐次坐标矩阵表示可将变换过程表示为矩阵乘法。 齐次坐标表示法就是用n+1维表示n维。 对二维变换： 可用齐次坐标三元组(xh,yh,h)来表示每个笛卡尔坐标位置(x,y)。 其中：x=xh/h，y=yh/h，也可写为(h·x,h·y,h)。 齐次参数h可取为任何非零值，每个坐标点(x,y)可有无数个等价齐次表达。最方便的选择是设置