历届高等数学竞赛试卷.docVIP

第二十届高等数学竞赛试卷 专业年级： 学 号： 姓 名： 成 绩： 页号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 说明： 1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效. 2. 题目所在页背面为草稿纸. 3. 试卷正文共7页. 中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办 基础数学系承办 2006年6月4日 一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若时，与是等价无穷小，则. 解题过程是： 2. . 解题过程是： 3. 设函数在处连续，则. 解题过程是： 4. . 解题过程是： 5. . 解题过程是： 解题过程是： 7. 解题过程是： 8. 解题过程是： 9. 解题过程是： 10. 设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的都有.　对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，则 . 解题过程是： 二、计算题（每小题6分，本题共42分）： 解题过程是： 2. 设是锥面的下侧，计算曲面积分 .. 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是： 三、证明题（本题8分）： 中国石油大学（华东） 第二十届高等数学竞赛试卷参考答案 一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若时，与是等价无穷小，则. .解 当时，，. 于是，根据题设有 ，故a=-4. 2. . 解 =, 而 ，故 原式= 3. 设函数在处连续，则. 解 由题设知，函数在 处连续，则 ， 又因为 . 所以 . 4. . 5. . 解：本题积分区域为全平面，但只有当 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可 . 7. 8. 9. 10. 设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的都有.　对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，则 . 解 两边对求导得 　　　　　　　　　　　.　　　　　　　　　　　 　令 ，则　,.　即　　　① 　　　　　设，则 　　　　　　　. 　　　则由①可得　. 　故由曲线积分与路径无关的定理可知，对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有 　　　　　　　　 二、计算题（每小题6分，本题共42分）： 2. 设是锥面的下侧，计算曲面积分 .. 解 设：，取上侧，则 　　　　 　. 而　＝， 　　. 所以　. 三、证明题（本题8分）： 解 （I） l2 C o X l3 如图，将C分解为：，另作一条曲线围绕原点且与C相接，则 . （II） 设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知， 曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有. ① ② 比较①、②两式的右端，得 由③得，将代入④得　 所以，从而 中国石油大学（华东） 第二十一届高等数学竞赛试卷 专业年级： 学 号： 姓 名： 成 绩： 页号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 说明： 1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效. 2. 题目所在页背面为草稿纸. 3. 试卷正文共7页. 中国石油大学（华东）教务处、