线性代数第四章齐次线性方程组.ppt

第五节齐次线性方程组 齐次线性方程组(4.2)有非零解的充要条件 齐次线性方程组解的性质 基础解系 解的结构 练习题 上页 下页 返回 返回 1. 齐次线性方程组(4.2)有非零解的充要条件 或向量形式 …………………………………… 定理8 以下命题等价(即互为充要条件): (1) AX=0(4.2) 有非零解; (4) 秩 An. 推论：齐次线性方程组 (4.2) 只有零解 证明 由矩阵、向量的运算、 于是, 以上4个命题相互等价. (2)--3)-(4)-(3)-(2)-(1) 线性相关定义,得(1)推(2), 2. 齐次线性方程组解的性质 （可推广至有限多个解） (解向量的和,数乘仍是 解) 性质1 证明 由题设知 齐次线性方程组的解的集合V称为齐次线方程组的解空间(space of solution)。 3. 基础解系 (1) 向量组 线性无关 ; (2) (3) AX=0 的任一解都可以由 线性表示。 则称向量组(I)是齐次线性方程组 的一个基础解系。 定义12 设A是一个s×n矩阵, 如果: 都是AX=0的解； 证明分几步: 1. 用初等行变换将系数阵A化为阶梯形矩阵; 个解。 3. 证明这 个解线性无关; 4. 证明任一解都可由这 个解线性表示. (1) 基础解系不是唯一的。 (2) 当 时，解集合(解空间)是 2. 以某种方法找 个解; 定理9 假设A是一个 则齐次线性方程组AX=0 存在基础解系, 且基础解系 注： 定义：齐次线性方程组的基础解系又称为解空间的基。 * *