锐角三角函数专项训练.docVIP

第28章 锐角三角函数 专项训练 专训1　“化斜为直”构造直角三角形的方法 名师点金： 锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解． 无直角、无等角的三角形作高 1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长． (第1题) 有直角、无三角形的图形延长某些边 2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积． (第2题) 有三角函数值不能直接利用时作垂线 3．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin ∠BCD＝，求tan A的值． (第3题) 求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，求tan ∠BPC的值． (第4题) 专训2　巧用构造法求几种特殊角的三角函数值 名师点金： 对于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形结合思想进行巧算． 巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值 1．求sin 15°，cos 15°，tan 15°的值． 巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值 2．求tan 22.5°的值． 巧用折叠法求67.5°角的三角函数值 3．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，求出67.5°角的正切值． (第3题) 巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°、72°角的三角函数值 4．求sin 18°，cos 72°的值． 巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值 5．求sin 75°，cos 75°，tan 75°的值． 专训3　应用三角函数解实际问题的四种常见问题 名师点金： 在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键． 定位问题 1．某校兴趣小组从游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300 m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC.(取1.73，结果保留整数) (第1题) 坡坝问题 2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度 .(结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732) (第2题) 测距问题 3．一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B，C间的距离是60千米，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离．(结果保留根号) 测高问题 4．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上． (1)求斜坡CD的高度DE； (2)求大楼AB的高度．(结果保留根号) (第4题) 专训4　利用三角函数解判断说理问题 名师点金： 利用三角函数解答实际中的“判断说理”问题：其关键是将实际问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的知识来解决实际问题． 航行路线问题 1．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由． (第1题) 工程规划问题 2．A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风