第一讲微分方程的基本概念及可分离变量的微分方程.pptVIP

泰山医学院信息工程学院刘照军 * 重点：常微分方程的基本概念，分类方法，可分离变量的常微分方程的解 难点：可分离变量的常微分方程的通解与特解的确定方法。 关键：基本概念；分离方法 知识连接：导数与微分的相关知识 第七章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 第二节 可分离变量的微分方程 第一节 微分方程的基本概念 一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、主要问题——求方程的解 四、总结 一、问题的提出 解： 解： 代入条件后知 故 开始制动到列车完全停住共需 二、微分方程的定义 1.凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 说明: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 分类1: 常微分方程, 偏微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程； 未知函数是多元函数的微分方程叫做偏微分方程； 2. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶 数称微分方程的阶. 高阶(n)微分方程 分类2： 一阶微分方程 例 三、主要问题-----求方程的解 1. 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解. 2.微分方程的解的分类：*** (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 一阶: 过定点的积分曲线; 二阶: 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 解 所求特解为 补充: 微分方程的初等解法: 初等积分法. 求解微分方程 求积分 (通解可用初等函数或积分表示出来) 四、总结 本节基本概念： 微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解; 初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线． 第二节 可分离变量的微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、典型例题 三、小结 一、可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程. 解法 分离变量法 为微分方程的解. 例1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 二、典型例题 的通解。 即为所求的通解。 通解为 解 令 则 例2 * * *