数学物理方法第四章2011.PPTVIP

（一）留数引入 （二）留数定理 (1) 方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数奇点的留数。 留数定理：将上述两者建立了一种关系。 (2) 要计算解析函数的积分，关键：计算留数； (3) 留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物； (4) bj(j=1,2,…)是 l 所包围的f(z)的所有奇点，而不是f(z)所有的奇点。 2.留数的计算方法 （三）无穷远点的留数 解：共有七个奇点： 　前6个根均在　　　内部，故由留数和定理可用求无限远奇点留数解此题。即 §4.1 1.（1）（3）（5）（7）（9） 2. （1）（3） 3. （一） 型的积分 （二） 型积分 （三） 型积分 约当引理： 若z 在上半平面及实轴上趋于∞时，F(z)一致地趋于零，则 其中 m0，CR 是以z=0 为圆心，R 为半径的位于上半平面的半圆。 §4.2 1.(1)(2)(6) 2. (1)(2)(6) 3.(2)(4)(6) 附录2.在无穷远点处留数的计算 因此 2计算方法：通过“围道积分法”和留数定理计算此类积分。 1 特征： ②把主值积分转化为围道积分，即 ① x y . . (以原点为中心 , R为半径 的在上半平面的半圆周) 增加无穷大的半圆周 ， 与 (除去有限孤立奇点）处处解析. 取R适当大, 使f(z)所有的在上半平面内的极点 都包在这积分路线内. f(z)在l及其内部 一起构成封闭曲线l 。 ③根据留数定理得: ④结果 例3 计算积分 解 在上半平面有二级极点 一级极点 辅助函数 (这类积分常见于傅里叶变换中) 注： 理解为它的积分主值. 1特征: 1. F(z)在上半平面中除了有限个孤立奇点外解析,在实轴上没有奇点； 2.当z 在上半平面及实轴上趋于∞时，F(z)一致地趋于零。 2目标： x y . . 与 的在上半平面内的极点 包在这积分路线内 . 3方法：同前一型: 补线 一起构成封闭曲线l ,使F(z)所有 都 而回路积分为： 关键 证： 由于z 在上半平面及实轴上趋于∞时，F(z)一致地趋于零，只需证 是有界。 从而 考虑下图： 由留数定理: 例4 计算积分 解 在上半平面只有二级极点 又 注意 以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴 上无孤立奇点. CR a -R R C? a+? a-? （四）实轴上有单极点的情况 例4 计算狄利克雷积分 分析 因 在实轴上有一级极点 应使封闭路 线不经过奇点, 所以可取图示路线: 解 封闭曲线l: 由柯西-古萨定理得: 由 当 充分小时, 总有 ld 即 s z g z z g r r C C d ) ( d ) ( ò ò ￡ 因为 . 2 π d sin 0 ò ￥ + = x x x 所以 * 学习要求与内容提要 目的与要求：掌握留数的概念及计算方法。掌握 用留数定理计算典型实定积分的方 法。 重点： 难点： 理解解析函数的积分值与函数的奇点的关系。 留数的计算与留数定理 如图:在 l 围成的区域中存在f(z)的孤立奇点z0，我们可引入曲线l1将此奇点挖掉，而构成复连通区域， f(z)在此复连通区域解析。 由柯西定理 或 l与l0方向相反，但与- l0方向相同。 又 回顾:复连通域柯西定理 设 为 在l构成区域内的一个孤立奇点; . 的某去心区域(内半径为零) (2)取l0为去心区域内包含 的任一条正向简单闭曲线 4.1 留数定理 l l0 0 1 0 1 0 ) ( ) ( ) ( a z z a z z a z f k k + + - + + - + = - - - - L L L L L + - + + - + k k z z a z z a ) ( ) ( 0 0 1 内的洛朗级数: 在 (1)由洛朗级数展开定理: 在去心区域内解析，可展开洛朗级数。 0 0 (柯西定理) L L L + - + + - + = ò ò - - - - l0 l0 k k z z z a z z z a d ) ( d ) ( 1 0 1 0 L L + - + + - + + ò ò ò z z z a z z z a z a k l0 k l0 l0 d ) ( d ) ( d 0 0 1 0 1 2 - p = ia 的系数 洛朗级数中负幂项 1 0 1 ) ( - - - z z a 由柯西定理,我们有积分 z z f i a l d ) ( 2 1 1 ò p = - 即 ò l