分布函数和密度.pptVIP

第三节 随机变量的分布函数 一、分布函数的概念 问题的提出：一些变量不是离散型，与离散型相对的是连续型。关心数量指标在一个区间上的取值问题。 考虑从全国人群中随机抽取一个人，记录其年龄X。比较关心其分布状况，“老年人的比率”“青少年人口的比率”等问题。 定义：设X是随机变量， x是任意实数，称F(x)=P{X=x} 为随机变量X的分布函数。 分布函数的几何意义 F(x)是随机变量X落在x左侧区间内的概率。 例：从全国的人群中抽取一个，记录其年龄X。则F(x)=P{X=x} 表示“年龄小于等于x”的概率 或“年龄不超过x”的比率。 分布函数的性质 1、F(x)单调上升 F(x) x 因为若 x1=x2, 则{X=x1}包含于{X=x2} 2、0=F(x)=1 因为 F(x)是概率 (不可能事件发生的概率) (概率和为1) 分布函数的性质 3、F(x+0)=F(x)(右连续) 4、P{aX=b}=F(b)-F(a) 证明：如图{X=b}={X=a}+{aX=b}所以 P{X=b}=P{X=a}+P{aX=b} 即F(b)=F(a)+P{aX=b} 得P{aX=b}=F(b)-F(a) 例：设随机变量X的分布函数为求(1)常数A、B的值 (2)P{-1X=1} 解(1) 又 所以 A=1, B=-1 (2) 二、离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量X的分布律为： P{X=xk}=pk (k=1,2,…)则，X的分布函数为(落入x左侧的取值点上的概率和) 例1、设随机变量X为抛掷一颗骰子出现的点数，求X的分布函数。 解：X的分布律为：P{X=k}=1/6 (k=1,..6) 所以 第四节 连续型随机变量的概率密度 一、概率密度与连续型随机变量 定义：若对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负实数f(x),使得 任意的实数x,都有 则称X为连续型随机变量 f(x)称为随机变量X的 概率密度函数。 分布函数F(x)是概率密度 函数f(x)在x左侧的面积。 概率密度函数的性质 1、f(x)=0 (概率密度非负) 2、 (概率和为1) 3、 (X落在区间(a,b)内的概率=曲边梯形的面积) 4、若f(x)在点x处连续，则 (积分与导数的关系) 5、概率密度的几何意义 考虑f(x)的连续点x，X落在 内的概率与区间长度之比为平均概率密度。取极限,得到每一点的概率密度。 6、概率密度与分布函数的关系 由概率密度求分布函数 由分布函数求概率密度 注：只有连续型随机变量才有概率密度!!! 7、 P(X=c)=0 连续型随机变量在一点处的概率为零。 证明： 注：与离散型不同！ 例1：设X具有以下概率密度：求(1)系数k (2)X的分布函数 (3)P{1.5X2.5} 解(1) (2) (3) P{1.5X2.5}=F(2.5)-F(1.5)=1-0.9375=0.0625 二、几种常见的连续型随机变量 （一）均匀分布 设随机变量X具有概率密度 则称随机变量X服从(a,b)上的均匀分布。 其分布函数： (二)指数分布(Exponential Distribution) 设随机变量X具有以下形式的概率密度： 则称随机变量X服从以 为参数的指数分布。 寻呼台收到的两次寻呼的间隔时间服从指数分布。 (三)正态分布(Normal Distribution) 若随机变量X具有以下概率密度： 则称X服从以 为参数的正态分布。记作 X ～ 正态分布的性质 1、f(x)关于 对称，在 取最大值 2、 为拐点 3、y=0为渐近线 特别，当 时 称随机变量X服从标准正态分布，分布函数记作 正态分布的计算 1、标准正态分布的计算 查表P371 设X ～ N(0,1), 求P{0X1} 解：P{0X1}=