数形结合-泰兴扬子江高级中学.DOC

浅谈“数形结合”在函数中的运用 泰兴市扬子江高级中学 袁小武 “数形结合”思想是中学教学的主线之一，它涉及集合、函数、数列、不等式、线性规划、向量、复数、解析几何、立体几何等多方面的知识.数形结合思想的运用主要体现在两个方面：一是以形助数，帮助分析某些抽象的问题，起到事半功倍的效果；二是借助于准确的数来研究图形的某些性质(主要在解析几何、立体几何中运用).纵观近几年的高考看，数形结合重点是研究以形助数，本文主要探讨用形解决函数的相关问题. 一、数形结合思想解决分段函数问题 例1 用表示三个数中的最小值设， 则的最大值为 6 . 解析：由图象可知：在A处取得最大值， 解方程组 ∴函数的最大值为6. 变式1 用表示三个数中的最大值设f(x)=max{}, 则的最小值为 1.5 . 变式2 已知函数,则函数的值域是 . 二、数形结合思想解决函数的零点(方程的根)的个数问题 这类问题的求解必须熟练掌握各类基本函数的图象以及函数图象的变换，如：平移变换、对称变换、翻折变换等. 例2 已知函数关于的方程有7个实数根，则的值分别为 -2 ；0 . 解析：利用函数的图象变换作出函数的图象 由图象可知：方程的根的情况如下 当 当 当 ∴关于的方程有7个实数根，必须满足. 此时， 变式 设为常数，试讨论方程的实根的个数. 解析：原方程等价于 由图象可知：当时，方程没有实根； 当时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根. 三、数形结合思想解决含参数的问题 运用数形结合的方法解含参数的问题，需要熟知一些表达式的几何意义. 如：表示半圆； 例3 若不等式的解集为区间,且, 则. 解析：由题意可得： 直线在半圆之上所对应的 由图象可知：，此时直线过点，故. 变式：已知集合且,则实数的取值范围是 反思： 数形结合作为一种重要的数学思想方法历年来一直是高考考察的重点之一.但从目前高考“注重通法，淡化特技”的命题原则来看，对于数形结合的数学思想方法，我们在复习时，应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分利用之上即可. 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野. A