数值积分公式的推演-台北立大学.PDF

技術報告 數值積分公式的推演 吳威良 臺北市立大學 數學系 吳威良 臺北市立大學 數學系 E-mail: ozweiliang@go.utaipei.edu.tw 10048台北市中正區愛國西路一號 Date: 2016.05.21 數值積分公式的推演 1.簡介 近年來，由於電腦及科學技術的快速發展，各種計算數學問題的數值方法， 也有越來越多的應用於科學技術上的各項領域。所謂的數學問題，指的是科學研 究或工程計算中的真實問題，它經過符號化後，所建立起的數學模型。然而，在 實際的數學問題當中，符號化後所建立的數學模型，在求解的過程當中，常常需 要計算方程式的微分和積分。在學習微積分理論中，依據大家所熟知的微積分基 本定理，為了計算定積分 b I f (x)dx a f (x) F (x) 只要找到被積分函數 的原函數 ，便有下列牛頓-萊布尼茲(Newton- Leibniz)公式: b f (x)dx F (b) F (a) a 但是，在實際工作中，使用這種求積分的方法通常都有困難，因為有很多的被積 分函數是很難求出它的原函數，亦或其原函數不能用簡單函數來表達，例如:積 b b sin x 1 分 x dx ，ln x dx 等都不能通過解析方法計算。除此之外，若是實際問題當中 a a 的被積分函數 f (x)往往是沒有解析表達式的，通常只被給定一組離散點的資料值， f (x) 這種情況更無法採用解析方法計算 的定積分值，因此有必要通過獲取的數據 構造出一些既便於使用，又有足夠準確度的近似計算方法，尤其要適宜用電腦進 行計算。 對於書本上所學習的數值積分公式，在此將說明如何利用多項式來當作解 析方程式的近似解的方法，進而用來轉化數學積分方程式為符合電腦計算的數 值積分的 公式。 2.數值積分 公式的推演 2.1 矩形法公式 2 我們利用常數多項式， 來取代被研究的解析方程式。若被積分方程式 f (x) 以g (x) c 來取代，則: 0 b b I f (x)dx  g 0 (x)dx   a a b c dx c (b a) a c c f (a) 假設 取左邊端點的值，則 ，故: I f (a) (b a) 底高 。 c c f (b) 假設 取右邊端點的值，則 ，故: I f (b) (b a) 底高 。 b  a  c 假設 取積分區間的中間值，則 c f   ，故:  a  b  a  I f  (b  a) 底高 。  a  這就是數值積分中提到的矩形法公式。 2.2梯形法公式 我們利用 一次多項式，來取代被研究的解析方程式。若被積分方程式 f (x) 以