第四章平差的数学模型与最小二乘原理.pptVIP

第四章 平差的数学模型与最小二乘原理 第一节 测量平差概述  一、几何模型 在测量工程中，最常见的是要确定某些几何量的大小。例如，为了求定一些点的高程而建立了水准网，为了求定某些点的坐标而建立了平面控制网或三维测量网。前者包含点间的高差、点的高程等元素，后者包含角度、边长、边的方位角以及点的二维或三维坐标等等元素。这些元素都是几何元素，以下统称这些网为几何模型。  1. 确定几何模型的必要元素（必要观测量） （1）几何模型的形状 2个 （2）形状、大小 3个 （3）形状、大小、位置 6个 2、必要元素的选取与性质 （1）能唯一确定该模型 （2）最少需要 （3）元素间不存在任何确定的函数关系  二、条件方程 在测量工程中，为了求得一个几何模型中各量的大小就必须进行观测。如果总共观测了该模型中n个量的大小，若观测个数少于必要元素的个数，即nt，显然它无法确定该模型，即出现了数据不足的情况；若观测了t个独立量，n=t，则可唯一地确定该模型。由于它们都是独立量，故不存在任何条件方程，在这种情况下，如果观测结果中含有粗差甚至错误，都将无法发现，在测量工作中是不允许这样做的。为了能及时发现粗差和错误，并提高测量成果的精度，就必须使nt，若令 r=n-t 式中n为观测值个数，t称为必要观测数，r称为多余观测数。多余观测数在测量中又称“自由度”。  一个几何模型如果有r个多余观测，就产生r个条件方程。由于观测值不可避免地存在观测误差，由观测值组成上述条件方程必不能满足，仍以（2）中情况为例，若观测了角度L1、L2、L3和边长S1、S2，考虑观测误差，有 因r=n-t=5-3=2，可组成2个条件方程为 若用观测值组成上述两个条件方程，则不能成立，即  第二节 函数模型 在日常生活和科学技术领域中，时常见到许多模型，一般可将其分为两大类，一类是将实物尺寸放大或缩小而得的模型，称为实物模型；另一类是用文字、符号、图表或者对研究的对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在联系的模型。前者称为模拟模型，后者称为数学模型。总称为抽象模型。 在测量工程中，涉及的是通过观测量确定某些几何量或物理量大小等有关的数量问题，因而考虑的模型总是数学模型。平差的数学模型与一般数学只考虑函数模型不同，它还要考虑随机模型，因为观测量是一种随机变量。所以平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种，在研究任何平差方法时必须同时予以考虑。  函数模型是描述观测量与待求量间的数学函数关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。随机模型是描述观测量及其相互间统计相关性质的模型。建立这两种 模型是测量平差中最基本而首先考虑的问题。 一、条件平差法的函数模型 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。 现以水准网为例，说明条件平差的函数模型。图中A为已知其高程的水准点，B、C、D均为未知点。网中观测向量的真值为