《线性代数》2011年下半年第二次.docVIP

《线性代数》2011年下半年第二次作业 一. 填空题（4x5=20分） 1.设向量组线性相关，则 t= 2 。 2.设向量组线性无关，则满足的关系式为 。 3. 设是非齐次线性方程组的解， 也是 的解，则应满足的关系为 1 。 4.设向量组，则该向量组的秩为 1 。 5.已知是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵必有特征值为 。 二.选择题（4x7=28分） 1. 设β可由向量α1=（1，0，0），α2=（0，0，1）线性表示，则下列向量中β只能是（ B ） A.（2，1，1） B.（-3，0，2） C.（1，1，0） D.（0，-1，0） 2. 已知向量组线性无关，则向量组（ C ）. A 线性无关; B 线性无关; C 线性无关; D 线性无关. 3.如果向量可由向量组线性表出，则下面结论中正确的是（ A ）. A存在一组不全为零的数，使等式成立; B 存在一组全为零的数，使等式成立; C 存在一组数，使等式成立; D 对 的线性表达式唯一. 4.设为阶实矩阵，则对于线性方程组（I）：和（II）：， 必有（ C ）. A（II）的解是（I）的解，（I）的解也是（II）的解; B（II）的解是（I）的解，（I）的解不是（II）的解; C（I）的解不是（II）的解，（II）的解也不是（I）的解; D（I）的解是（II）的解，（II）的解不是（I）的解. 5.设0是矩阵的特征值，则a=（ B ）. A、 -1; B、0； C、1; D、2. 6.设矩阵为n阶矩阵，且与相似，为n阶单位矩阵，则有（B） A、矩阵； B、与有相同的特征值和特征向量； C、都相似于一个对角矩阵； D、对任意常数，矩阵相似。 7.下列叙述中，错误的有（ C ） A、若向量正交，则对于任意实数也正交 B、若向量与向量都正交，则与的任一线性组合也正交 C、若向量正交，则中至少有一个零向量 D、若向量与任意同维向量正交，则是零向量 三．（12分）已知向量组. (1) 试求为何值时，向量组线性相关？ (2) 试求为何值时，向量组线性无关？ (3) 当向量组线性相关时，将表示为和的线性组合。 解：（1）由 解得 时，向量组线性相关。 （2）当 时，向量组线性无关。 （3）当向量组线性相关时，则。 四.(14分) 已知线性方程组 求：（1）对应齐次方程组的基础解系； （2）该方程组的通解。 求：（1）对应齐次方程组的基础解系； （2）该方程组的通解。 解：（1）齐次方程组的系数矩阵为： 所以对应齐次方程的基础解系为 （2）此方程组为非齐次方程组，它的增广矩阵为 所以 ，通解为。 五.(12分) 求矩阵的特征值和特征向量. 解：由 故特征值为。 当时，由 即 有 求解得 令，则特征向量为 ，。 六. (14分) 设， （1）求非奇异矩阵，使为对角矩阵. （2）求正交矩阵，使为对角矩阵.