全概率公式与贝叶斯公式的应用及推广5.docVIP

全概率公式与贝叶斯公式的应用及推广 摘 要：全概率公式与贝叶斯公式是概率论中两个重要的公式,在实际中有广泛的应用. 本文对全概率公式和贝叶斯公式进行了仔细的分析,举例说明了它们的用法及它们所适用的概型.为了解决实际问题的需要,我们将全概率公式和贝叶斯公式进行了推广, The Application and Promotion of Total Probability Formula and Bayes Formula Abstract：； 易知 ； 所以 ； 即 . 1.2.2 全概率公式在医疗诊断中的应用 例3、据调查，在50个耳聋人中有4人色盲，在9950个非耳聋人中有796人色盲，分析两种疾病是否相关. 分析:设事件为耳聋人，事件为色盲人，， 则.依题意可得，=0.08,=0.08 由全概率公式， = = =0.08 所以，,事件与事件相互独立. 经过以上分析得出结论：耳聋与色盲无关. 1.3全概率公式的推广 当一个复杂事件的发生与一列互不相容事件有关，而这列事件自身并不构成样本空间，添加某些事件后才构成样本空间的分割，而这些事件对复杂事件的发生没有影响时，可将全概率公式作以下推广. 1.3.1全概率公式推广定理1及其应用 设是一列事件，添加后，或其自身构成样本空间的一个分割,则对任一事件， 当有. 证明： = = 例4、 设甲、乙、丙三个士兵同时向一目标射击，每人击中目标的概率为，一人击中目标被摧毁的概率是，两人击中目标被摧毁的概率是，三人击中目标被摧毁的概率是，求目标被摧毁的概率. 解：令“目标被摧毁”，“有个人击中目标”， 其中 虽然不构成样本空间的分割，但添加“三人均未击中”后就构成的分割，而于是，得： 当试验的随机过程不少于两个的时候，在影响目标事件的每一个试验过程中分别建立完备事件组，全概率公式可推广为推广定理2. 1.3.2 全概率公式推广定理2及其应用 设和是先后两个试验过程中的划分，为目标事件.当 时， 则有 ： 证明： = = 例5、已知两个箱子中各装有3个不合格品和5个合格品，现从第一箱中任取一个产品放入第二箱，再从第二箱中任取一个产品放入第一箱中，问此时从第一箱中取出一个产品是合格品的概率. 解：设表示“从第一箱中取出个合格品放入第二箱中” ；表示“从第二箱中取出个合格品放入第一箱中” ；表示“再从第一箱中取出一个合格品”.由题意得：  故由全概率推广公式得： 1.3.3 全概率公式推广定理3 设为样本空间的一个分割,即互不相容且,，为两个事件,当时，有 特别当分别与独立时， 证明： 设为两个事件，根据加法公式，有 当时 所以 故 而当与独立时，有： 此时： 第二章 贝叶斯公式的应用及其推广 2.1贝叶斯公式及其与全概率公式的联系 在介绍了全概率公式以后还得介绍贝叶斯公式，因为贝叶斯公式和全概率公式是一组互逆公式.接下来先来看下贝叶斯公式的概念. 设个事件构成样本空间的一个划分，是一个事件，当,0, 时则有贝叶斯公式为： 证明：由条件概率的定义及乘法公式有： , 对运用全概率公式并代入这个式子即得贝叶斯公式： 由证明可以知道贝叶斯公式其实就是全概率公式的一种变形，它与全概率公式是互逆应用的.它与全概率公式一样在实际生活中也有很广泛的应用，下面来探讨贝叶斯公式在以下几个方面的应用. 2.2 贝叶斯公式的应用 2.2.1贝叶斯公式在工厂