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§6.6 环(离散数训魔)
§6.6 环 ; 6.6.1 环 的 定 义;环的例;性质1 用数学归纳法,分配律可以推广如下:
a(b1+…+bn)=(ab1) +…+(abn) ,
(a1+…+am)b= (a1b)+…+(amb),
;环 的 性 质;性质4 a(-b)= -(ab),
(-a)b = -(ab),(-a)(-b)=ab。
证明:由性质2,令c=0,即得
a(-b)= -(ab),(-a)b = -(ab)。
因此,
(-a)(-b) =-((-a)b)= -(-(ab))=ab。
性质5 对任意整数m,都有
a(mb) = (ma)b = m(ab)。 ;性质6 am+n=aman,(am)n=amn。
性质7 在交换环中,有第三指数律:
(ab)n=anbn。
性质8 在交换环中二项式定理成立:
(a+b)n = an + nan-1b + an-2b2 + … + bn。
用数学归纳法证明. ;如果环R不只有一个元素而且有一个元素
1适合对任意a ? R,
1a = a1 = a
则称R为含壹环。
例. 整数环为含壹环,所有偶数在数的加法和乘法下作成的环不是含壹环。 ;性质9 含壹环R的壹是唯一确定的。
证明:若1、1′为R的两个壹,则1′=11′=1。
性质10 设环R有1,则1≠0。
证明:取a∈R,且a≠0,则a0=0,而a1=a,故1≠0。
性质11 任意环R均可扩充成一个含壹环R+。
证明:令R+={a+m| a∈R,m∈Z}。规定:
(a+m)+(b+n)=(a+b)+(m+n);
(a+m)(b+n)=(ab+na+mb)+mn。
则R+为环,其壹为0+1。 ;定义. 若R是环,S是R的非空子集,若S在R的
加法和乘法下仍是环,则称S是R的子环。
结论:R本身以及{0}是R的两个平凡子环。
定理6.6.1 环R的子集S作成子环必要而且只要,
(1)??S非空;
(2)??若a∈S,b∈S,则a-b∈S;
(3) 若a∈S,b∈S,则ab∈S。 ;对于环来说,若大环有壹,子环未必有壹.
如,整数环含1,但其子环偶数环不含1。
即使子环有壹,其壹未必与大环的壹一致.
见教材224页矩阵环的例子。 ;定义. 若R是环,a,b ∈ R,如果a≠0,
b≠0,但ab=0,则称a,b为零因子。如
果R没有这样的元素,则说R无零因子。
无零因子的环称为消去环。
例. 整数环是消去环,矩阵环不是消去环,
有零因子。比如,;性质12 环R是消去环 iff R中消去律成立。
证明:必要性。如果a≠0,且ab = ac,那么
ab-ac = 0,即 a(b-c)= 0。因环R中无零因子,
而a≠0,故必有 b-c= 0,即b = c,因此,左消去
律成立,同理可证右消去律也成立。
充分性。设消去律成立,即由a≠0,ab = ac可
推出b = c。若ab=0,而a≠0,则ab = a0,因而由
消去律可得 b = 0。故R无零因子,R是消去环。 ;性质13 在消去环R中,不为0的元素在加法下的周期相同。
证明:
(1) 若不为0的元素在加法下的周期都为0,则得证。
(2) 否则,R中存在非零元素a,a的周期不是0,设为m,即ma = 0。 任取R中非零元b, ; 则, a(mb) = (ma)b = 0b = 0,
又由a≠0,且R无零因子知,mb=0,所以b的周期不是0,设为n,则n|m。
另一方面,(na)b=a(nb)=a0= 0,又由b≠0,且R无零因子知,na=0。而a的周期为m,故m|n。
因此,m=n。
由b的任意性知,在消去环R中,不为0的元素在加法下的周期都与a的周期相同。 ;性质14 在消去环R中,不为0的元素在加法下的周期或为0或为质数。
证明:设a∈R,a≠0,且a的周期为n,故
na = 0。
(1)?? 若n=0,则得证。
(2)?? 否则,只需证n是质数。;用反证法。设n不是质数,则n = n1n2, 且n1≠1,
n2≠1。故1n1 n,1n2n。 显然,
n1a, n2a ∈ R,由a的周期为n知,
n1 a≠0,n2a≠0。而
(n1 a)(n2a) = (n1 n2)(a a)
= (na)a = 0 a = 0,
故n1 a,n2a为零因子,与R无零因子矛盾。
因此,原假设不对,n是质数。
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