§6.7 环 同 态(赖碾散数学).pptVIP

§6.7 环 同 态 ;6.7.1 理 想 ;理想的例;理想的例; 结论2. 任意体R只有平凡理想。 证明： 任取R的理想N，若N={0}，则得证。否则，往证N=R。 因N≠ {0}，故存在a∈N，且a≠ 0。 于是有a的逆元素a-1∈R。由N为理想知，有 a-1 a∈N，即R中的1∈N。 从而对R中任意元素x，都有x = 1x∈N。 因此，R ? N。故N=R。 ;结论3. 两个理想的交集仍是理想。 证明：设A和B是环R的两个理想。 A?B非空：因为0?A且0?B，故0?A?B。 对任意的x，y ?A?B，有x，y?A，而A是R 的理想，故x-y?A，同理有x-y? B。于是 x-y?A?B。 对任意的x?A?B，r?R，有x?A，r?R，而A 是R的理想，故xr?A，rx?A。同理又有xr?B， rx?B，于是 xr?A?B，rx?A?B。 ;结论4. 设R是有壹的交换环，a∈R，则 aR={ar | r∈R}是R的理想，而且包含a。 证明： (1) aR非空，因为0=a0∈aR，a=a1∈aR。 (2) 若x∈aR，y∈aR，则存在r1，r2∈R， 使得x=ar1，y=ar2，故 x-y = a（r1-r2） ∈aR (3) 若z∈aR，r∈R，则存在r3∈R，使得 z = ar3， 故 zr = ar3r = a(r3r)∈aR，rz = rar3 =a(r r3)∈aR。 因此，aR是含a的理想。 ;定义. 设R是有壹的交换环，a∈R，则 aR 称为由a生成的主理想，记为（a）。 显然，（0）={0}， （1）=R。 结论5. 环R的主理想（a）是R中包含a的理想中最小（在集合包含关系下）的理想。 证明：设N是R中包含a的任一理想，往证 （a）? N。任取x∈(a)，即x∈aR，则存在 r∈R，使得x=ar。由a∈N， r∈R，N是理想 知，ar∈N，即x∈N。所以，（a）? N。 ;6.7.2 环 中 合 同 关 系 ;例. 设R为整数环I，N=（m）=mI，则 a≡b（mod N） iff a=b+n, n∈N iff a=b+mk iff m∣a-b iff a≡b（mod m）。 I的关于N的陪集即是模m的剩余类。;定理6.7.1 在环R中，对于模N，有 (1)反身性：a≡a; (2)对称性：若a≡b，则b≡a; (3)传递性：若a≡b，b≡c，则a≡c; (4)加法同态性：若a≡b,c≡d,则a±c≡b±d。 (5)乘法同态性：若a≡b，c≡d，则ac≡bd。 ; (1)至(3)在群中已证。 （4）因为a≡b,c≡d,故 a = b+n1，c = d+n2，n1∈N，n2∈N。 于是 a±c= b+n1 ±（d+n2）= b±d +（n1 ± n2） 又n1 ± n2 ∈N，故a±c≡b±d。 （5）因为a ≡ b，c≡d，故 a = b+n1，c = d+n2，n1∈N，n2∈N。 于是 ac =bd+（bn2 + n1d + n1n2） 。 但N是一个理想，故bn2∈N，n1d∈N，n1n2∈N， 因而bn2 + n1d + n1n2∈N，故ac≡bd.;定义. 设R是一个环, S是有加、乘两种运算的系统，称 R到S中的映射σ是环R到S中的同态映射，如果 σ(a+b)=σ(a)+σ(b)，σ(ab)=σ(a)σ(b)。 若R到R’上有一个同态映射,则称R与R’同态,记为R～R′。 定义. 若σ是环R到R’上的一对一的同态映射，则 称σ是R到R’上的同构映射或同构对应。 若R到R′上有一个同构映射，则称R与R′同构，记为 R ? R′。 ;定理6.7.2 设R是一个环,S是一个有加法和乘法 的运算系统.若σ是R到S中的一个同态映射,则 R的映象R′=σ（R）也是一个环， σ(0)就是R′的零0′， σ(-a)=-σ(a)。 若R有壹而R′不只有一个元素，则 R′有壹而且σ（1）就是R′的壹1′； 若a∈R有逆，则σ（a）在R′中有逆而且 σ（a-1）就是σ（a）-1。 ; 设σ是环R到R′上的同态映射，R′的 零0′的逆映象σ-1(0’)叫σ的核。 σ-1(0’)={x∣ x ∈R ,σ(x)=0′} ;定理6.7.3设σ是环R到R’上的同态映射，则σ的 核N是R的一个理想。设a’是R’的任意元素，则 σ-1(a’)={a∈R∣σ(a)=a’}是N的一个剩余类。 证明：因为σ是R的加法群到R’的加法群