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第十一章 恒定电流的磁场 11–已知两同心薄金属球壳，内外球壳半径分别为a，b（ab），中间充满电率为的材料，材料电导率随外电场变化，且=kE，其中k是常数，现将两球壳维持恒定电压，求两球壳间的电流强度和电场强度。 解：设内球带电+Q，外球带电(Q，由于电场分布具有球对称性，可作半径为r（arb）的同心球面高斯面，由高斯定理可得 （1） 又 （2） 所以 （3） 将（3）代入（1）得 （4） 由 沿径向电流强度减小，沿径向有漏电。11–20 四条平行的载流无限长直导线，垂直地通过一连长为a的正方形顶点，每根导线中的电流都是I，方向如图所示，求正方形中心的磁感应强度B。 解：正方形中心的磁感应强度B就是各导线所产生的磁感应强度的矢量叠加，又由右手螺旋定则知，中心处磁场强度为B=B1+B2+B3+B4=2B1+2B2，方向如图所示。其中B1，B2的大小 则磁感应强度B在水平方向分量为 竖直方向为 因此，正方形中心的磁感应强度B的大小 方向竖直向上。11–22 两根导线沿半径方向被引到铁环上A，D两点，并与很远处的电源相接，电流方向如图所示，铁环半径为R，求环中心O处的磁感应强度。 解：根据叠加原理，点O的磁感应强度可视作由三段直线以及，两段圆弧电流共同激发。由于电源距环较远，。而，两段直线的延长线通过点O，则，由毕奥–萨伐尔定律知，导线，在O点的磁感应强度为零，即。流过圆弧的电流I1，I2的方向如图所示，它们在O点激发的磁感应强度即为所求。方法一根据毕奥–萨伐尔定律，圆弧，在O点激发的磁场分别为B1，B2， 方向垂直纸面向外 方向垂直纸面向由于圆弧，构成并联电路，因而有，又由于圆弧，的电阻与其长度成正比，则 即 由右手螺旋法则可判断出B1，B2方向相反，故点O的总磁感应强度 方法二一载流圆弧在圆心处产生的磁感强度，式中(为圆弧载流导线所张的圆心角，设两段圆弧，，对圆心的张角分别为(和2(((，则有 由右手螺旋法则可判断出BABD，BACD方向相反，故点O的总磁感应强度为 （1） 与法相同的步骤得出 则 将上式代入（1）式得点O的总磁感应强度 11–24 一个半径为R的塑料圆盘，表面均匀带电+Q，如果圆盘绕通过圆心并垂直于盘面的轴线以角速度(匀速转动，求：（1）圆心O处的磁感应强度；（2）圆盘的磁矩。 解：（1）圆盘转动时，其上电荷绕轴转动形成电流，在空间激发磁场。圆盘电荷面密度 如图所示，在圆盘面内取半径为r，宽度为dr的细圆环，环上电流为 细圆环在圆心处产生的磁感应强度大小 由于所有细圆环在圆心处的磁感应强度的方向都向相同，因此， 方向垂直于盘面向外。 （2）细圆环的磁矩为 因此，整个圆盘的磁矩为 11–26 空心长圆柱形导体的内、外半径分别为R1，R2均匀流过电流I。求证导体内部各点（R1r R2）的磁感应强度为解：导体横截面上的电流密度为 由于电流和磁场分布具有轴对称性，B线是以轴线为圆心的同心圆，因此以半径r作同心圆，如图所示，在圆上任一点B的量值都相等，方向与圆相切。以此圆为环路，由安培环路定理得 所以 11–27 一根很长的半径为R的铜导线载有电流10A，在导线内部通过中心线作一平面S（长为1m，宽为2R），如图所示。试计算通过S平面内的磁通量。 解：由安培环路定理，可求出圆柱体内、外区域与导体中心轴线相距为r处的磁感强度的大小 当时， 当时， 在平面S上，距轴r处，取宽为dr，长为l=1m的面积元dS=ldr=1(dr=dr的磁通量为 通过整个面积S的磁通量为 =1.0(10–6+1.4(10–6=2.4(10–6Wb 11–28 如图所示，线圈均匀密绕在截面为矩形的整个木环上（木环的内外半径分别为R1，R2，厚度为h），共有N匝，求：（1）通入电流I后，环内外磁场的分布。（2）通过管截面的磁通量。 解：（1）根据右手螺旋法则，环管内磁感强度的方向与环管中心轴线构成同心圆，取半径为的圆为积分环路，在环路上各点B的大小相等，方向沿环路切向。根据安培环路定理 当时， 当时， 当时 可见，在环外B=0，在环内，。 （2）在任意半径r处取宽为dr，高为h的条形面积元，磁能量为 则通过环管全部截面的总磁通量为 11–30 带电粒子在过饱和液体中运动，会留下一串气泡显示出粒子运动的径迹。设在气泡室有一质子垂直于磁场飞过，留下一个半径为3.5cm的圆弧径迹，测得磁感强度为0.20T，求此质子的动量和动能。 解：由带电粒子回转半径与粒子运动速率的关系 可得 =1.12(10–21kg(m/s J=3.76(10–16 J =2.35KeV11–35 如图，在长直导线AB旁有一矩形线圈CDEF，导线中通有电流I1=20A，线圈中通有电流I2=10A。已知d=1cm，a=9c