用单位圆定义任意角三角函数深层次领悟.docVIP

用单位圆定义任意角三角函数深层次领悟以直角三角形为载体的锐角三角函数是解三角形的工具，而任意角的三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的，两者之间的研究对象不同，表现的性质不同，但结合直角三角形中锐角三角函数有助于任意角三角函数的研究. 一、“单位圆定义法”有利于 直观领悟角与实数之间的对应关系 三角函数是建立在两个变量之间对应关系的基础上的.为了直观理解这种对应关系，我结合自制教具，如图1，用木头制作的圆盘，用一条彩带从圆上定点O开始缠绕于圆盘上，若将圆盘的半径看作一个单位长度，根据弧长公式：弧OP的长?謀=r·｜?琢｜=｜?琢｜，这样，角（弧度数）与弧长之间就建立了对应关系，两者之间单位一致；同时，若将缠绕于圆盘上的弧OP以O为起点拉直，对应数轴上的有向线段OQ，则弧长与数轴上的点建立了对应关系，而缠绕方向可以顺时针或逆时针方向，所以角（弧度数）与实数之间可以建立一对一关系. 二“单位圆定义法”有利于后续内容学习 “单位圆定义法”直接反映了三角函数定义中的数形关系，为后续研究三角函数线、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式、和（差）化积公式等奠定了直观基础. 1. 有利于诱导公式的学习 “单位圆定义法”以单位圆为载体，点P（x,y）即P（cos?琢,sin?琢），根据单位圆上点旋转的周期性、点的对称性，能方便地得出： ⑴点P（cos?琢,sin?琢）的位置相同： sin(?琢+k·2?仔)=sin?琢，cos（?琢+k·2?仔）=cos?琢，tan(?琢+k·2?仔)=tan?琢，(k∈z)； ⑵点P（cos?琢,sin?琢）关于原点对称： sin(?仔+?琢)=-sin?琢,cos(?仔+?琢)=-cos?琢,tan(?仔+?琢)=tan?琢； ⑶点P（cos?琢,sin?琢）关于x轴对称： sin(-?琢)=-sin?琢,cos(-?琢)=cos?琢,tan(-?琢)=-tan?琢； ⑷点P（cos?琢,sin?琢）关于y轴对称： sin(?仔-?琢)=sin?琢，cos(?仔-?琢)=-cos?琢,tan(?仔-?琢)=-tan?琢； ⑸点P（cos?琢,sin?琢）关于直线y=x对称： sin(■-?琢)=cos?琢, cos(■-?琢)=sin?琢； ⑹点P（cos?琢,sin?琢）关于直线y=-x对称： sin(■-?琢)=-cos?琢,cos(■-?琢)=-sin?琢. 2. 有利于三角函数线的学习 三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数概念. 如图2，单位圆中，根据三角函数定义：｜OM｜=｜x｜=｜cos?琢｜，而有向线段OM的方向与x轴的正方向一致，与cos?琢的符号一致，于是，有向线段OM可以表示角?琢的余弦值，叫做角?琢的余弦线；同理，MP,AT分别是角?琢的正弦线、正切线. 3. 有利于两角和与差的三角函数的学习 两角和与差公式实际上是“圆的旋转对称性”的解析表示，也是圆的反射对称性的解析表述. 如图3，在平面直角坐标系xOy中，角?琢的终边与单位圆交于?琢(cos?琢,sin?琢)点，角?茁的终边与单位圆交于点B（cos?茁,sin?茁），设向量■与■的夹角为?兹，易知 ｜?兹｜=｜?琢-?茁±k·2?仔｜（k∈z），则cos?兹=cos(?琢-?茁±k·2?仔)=cos(?琢-?茁). ∴■·■=■｜·■｜cos?兹=cos?兹=cos?琢cos?茁+sin?琢sin?茁. ∴cos(?琢-?茁)=cos?琢cos?茁+sin?琢sin?茁. “单位圆定义法”与“终边定义法”本质上是一致的.“单位圆定义法”是任意角?琢的终边与单位圆的交点P(x,y)，以单位长为半径；“终边定义法”是任意角?琢的终边上任意一点P(x,y)，相当于以r=■为半径.因此，它们两者之间是一致的.但是单位圆定义法有利于完善学生的认知结构，更简单、清楚地突出三角函数的周期性且有利于三角函数的后续学习. 责任编辑 罗 峰 1