量纲方法及弹簧谐振周期的二级修正公式.pdfVIP

量纲方法与弹簧谐振周期的二级修正公式 周国全 (武汉大学物理学院物理系，武汉 430072) 摘要 本文将量纲方法与实验相结合，并应用于弹簧质量对谐振动周期影响的研究， 阐明应用量纲方法的一般原则，所得的谐振周期一、二级修正公式与弹性振动理论导出的结 论正相吻合。 0. 前言 关于弹簧质量对谐振动周期的影响。其研究结论已散见于各种文献[1]、[2]、 [3]、[4]，基本上都是根据弹性理论建立振动微分方程加以解决，本文介绍一种 简便而实用的方法——量纲方法，配合实验研究，可以在不求解弹簧谐振动系统 的振动微分方程的情况下同样得出正确的谐振周期一、二级修正公式 M +m / 3 T 2π （1） k 及 2 m m M [1+ / 3−( ) / 4] T 2π M M （2 ） k M 1 m 1 m 2 2 [1 ( ) π + ⋅ − ] （2 ´） K 6 M 8 M 式中，M ，m 分别为弹簧振子及弹簧本身的质量，k 为弹簧的倔强系数。通 过这一实例，足见量纲理论在物理研究中具有相当大的辅助作用。 1.量纲独立性与指数待定方程 具体研究途径是这样的：先用量纲方法确定(M ，m)振动系统周期 T 的基本 形式，基本形式中各未知指数根据量纲要求而建立适当的代数方程来求出，其余 某些待定系数(或参量)可以通过理想情况或极限情况、特例、以及精确的实验数 据巧妙的作图处理加以确定。 以直螺旋弹簧谐震动系数(M ，m)为例，决定其周期T 的各因素如下： 1 ① 弹簧弹性系数k ；② 振子质量M ；③ 无量纲参数λm M/ 。 量纲理论要求：作为(M ，m)振动系统的一个特征物理量－周期T 必然满足 T C M k ( )λ x y (3) 其中x ，y 为待定指数，C( λ)为与λm M/ 有关的无量纲函数。 -2 2 由于[T]=S(秒) ；[M]=M(千克) ；[k]=MS (牛顿/米) 量纲理论指出：等式 (3) 两侧的量纲必然相同，故有： y x x y −2 y + − 2 =⋅ S M MS⋅( ) M S 根据基本物理量(质量M 与时间S)的量纲独立