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力学篇第三章 刚体的定轴转动 主讲人: 冯有才 兰州理工大学 理学院 ?1 ? 2 例8：人与转盘的转动惯量J0=60kg·m2, 伸臂时臂长为l1= 1m，收臂时臂长为 l2= 0.2m。人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量 m=5kg的哑铃。伸臂时转动角速度 ?1 = 3 s-1,求收臂时的角速度 ?2 。 （人手臂收缩引起的角动量变化不计） 上页 下页 退出 返回 ?1 ? 2 解：合外力矩为0，角动量守恒， J0=60kg·m2，l1= 1m， l2= 0.2m m=5kg， ?1 = 3 s-1 上页 下页 退出 返回 由转动惯量的减小，角速度增加。 在此过程中机械能不守恒，因为人收臂时做功。 上页 下页 退出 返回 ?1 = 3 s-1 解：两飞轮通过摩擦达到共同速度,合外力矩为0，系统角动量守恒。 共同角速度 例9：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分别为 ?1 、?2，求两飞轮啮合后共同的角速度 ? 。啮合过程机械能损失。 上页 下页 退出 返回 例3：长为 l、质量为 m 的细杆，初始时的角速度为 ?0，由于细杆与桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力矩 M阻。 解：以细杆为研究对象，只有摩擦阻力产生力矩，由匀变速转动公式： 上页 下页 退出 返回 细杆绕一端的转动惯量 则摩擦阻力矩为： 上页 下页 退出 返回 第二类问题：已知 J 和力矩M ：求出运动情况 a 和 ? 及 F。 例3-6一细杆质量为m，长度为l，一端固定在轴上，静止从水平位置自由摆下，求细杆下摆θ时角加速度。 例4：质量为 m1和m2两个物体，跨在定滑轮上， m2 放在光滑的桌面上，滑轮半径为 R，质量为 M，若轮轴摩擦可以忽略，轮子和绳子之间无相对滑动，求：m1 下落的加速度，和绳子的张力 T1、T2。 T1 T2 解：受力分析 以 为研究对象 （1） 以 为研究对象 （2） 以 为研究对象 （3） T1 T2 上页 下页 退出 返回 补充方程： （4） 联立方程（1）---（4）求解得 讨论：当 M=0时 上页 下页 退出 返回 ω o x ω r dθ dr ds o x 例3-8：如图所示，有一匀质圆盘半径为R,质量为m，在水平面上绕过圆心的垂直轴O转动。若圆盘的初角速度为ω0，桌面的摩擦系数为μ并且与相对速度无关。求圆盘停下来需要的时间和停转过程的角位移。 第三类问题：已知运动情况 和力矩M ，求未知刚体转动惯量 J。 例5：测轮子的转动惯量 用一根轻绳缠绕在半径为 R、质量为 M 的轮子上若干圈后，一端挂一质量为 m 的物体，从静止下落 h 用了时间 t ,求轮子的转动惯量 J。 h 上页 下页 退出 返回 h 以m为研究对象 以M为研究对象 物体从静止下落时满足 补充方程： 联立方程（1）----（4）求解得： 上页 下页 退出 返回 3.3 守恒定律 一. 力矩的功 将F分解为切向力和法向力。 刚体转过 d?, 作用点的位移为 ds, 法向力Fn 不作功，只有切向力作功， 其中 由功的定义 对于恒力矩作功 恒力矩的功为力矩与角位移的乘积。 由功率的定义： 二、力矩的功率 则 刚体在力矩的作用下转过一定角度，力矩对刚体做了功，作功的效果是改变刚体的转动状态，改变了刚体的什么状态？ 由力矩的功定义： 三、刚体绕定轴转动的动能定理 其中力矩 则功 刚体定轴转动的动能定理 刚体转动动能定理：合外力矩对刚体作功等于刚体转动动能的增量。 1.确定研究对象。 2.受力分析，确定作功的力矩。 3.确定始末两态的动能，Ek0、Ek。 4.列方程求解。 四、应用转动动能定理解题方法 上页 下页 退出 返回 例：例3-6题中求细杆摆到铅直位置时的角速度。 解：以杆为研究对象， 只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化而变化。 重力矩作功： 上页 下页 退出 返回 始末两态动能： 由动能定理： 五、物体系的机械能守恒定律 当系统中既有平动的物体又有转动的刚体，且系统中只有保守力作功，其它力与力矩不作功时，物体系的机械能守恒。 其中 例3-9：例3-6中求细杆下摆θ时角速度ω为多少。 例3-10：如图，轻绳绕在定滑轮A，B（质量分别为m1和m2）上，一端挂有重物C（质量为m3），A、B滑轮均可当做匀质圆盘，半径分别为R1和R2，求物体C由静止下落h处的速度。 h A B 例：如图所示的物体系中，倔强度系数为 k的弹簧开始时处在原长，定滑轮的半径为 R、转动惯量为 J，质量为 m 的物体从静止开始下落,求下落 h 时物体的速度 v。 解：在物体 m 下落过程中只有重力和弹力保守力作功，物体系机械能守恒。 选择弹簧原长为弹性 0 势点，物体下