高考数学立体几何中向量方法.docVIP

立体几何中的向量方法 战前热身　 立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，为了利用空间向量这个工具解决立体几何问题， ◆首先要解决如何利用向量把空间中的点、直线、平面的位置表示出来。 1．直线的方向向量：是指和这条直线平行（或共线）的向量.一条直线的方向向量有　　　个。 2．平面的法向量：直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量.一个平面的法向量有　　　个，它们的关系是　　　　。 3．求法向量的步骤：（1）设出平面的法向量；（2）找出平面内的两个不共线的向量的坐标；（3）根据法向量的定义建立关于的方程组；（4）解方程组，取其中的一个解，即得一个法向量。 4．利用向量确定点、直线、平面在空间中的位置： （1）空间中的任意一点P，可以以一定点O作为基点，用向量　　　来确定； （2）空间中任意一条直线，可以通过上的一个定点A和的一个方向向量来确定，即直线可以表示为，其中P是上任意一点； （3）空间中任意一个平面，有两种向量表示形式：①通过上的一个定点O和两个不共线向量来确定，即平面可以表示为：＝　　　　　　　，其中P是上的任意一点；②通过上的一个定点O和的法向量来确定，即平面可以表示为：，其中P为上的任意一点。 ◆其次要解决如何结合运算，利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角。 设直线，的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则： （1）线线平行　　　　　　　　　　　； 　　 线面平行　　　　　　　　　　　； 　　 面面平行　　　　　　　　　　　　　　　　　。　 　特别提醒：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合. （2）线线垂直　　　　　　　　　　； 线面垂直　　　　　　　　　　　；　 面面垂直　 　　　　　　　　　　　　　　　　　。 （3）线线夹角　　　的夹角为，　　　　　　　； 　　　 线面夹角　　　的夹角为，； 　　　 面面夹角　　　的夹角为，。 特别提醒：二面角的平面角的取值范围为，还是应结合具体问题而定。 小试牛刀 请同学们通过例题来体会利用空间向量来解决立体几何问题的美妙之处. 例 如图所示，在三棱锥中,△是边长为4的正三角形, ASＭNCB平面，分别为，的中点。 A S Ｍ N C B （１）证明:; （２）求二面角的余弦值; ASＭNCB A S Ｍ N C B z xx y 由平面平面，易知ＳＯ，ＯＡ，ＯＢ两两互相垂直， 故建立如图所示空间直角坐标系,则 (1) (2) 设为平面的法向量,则 取,则 。 故得平面CMN的一个法向量为 。 又为平面的一个法向量， 。 故二面角的余弦值为. 评注：同学们可用传统的纯几何法解答上例，通过比较，体会向量法的优势。另外，向量法虽然为我们提供了解决空间中点、线、面位置关系的一般方法，但应用时仍离不开立体几何的相关定理，如此例中面面垂直性质定理的应用是建系的关键。 实战心得 　　用空间向量解决立体几何问题的思路：首先，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；其次，通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；最后，把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。