高等数学-1章-函数及极限-3.docVIP

(3)(B10). 证明(1): 因为lim f (x)=A, lim g (x)=B , 根据极限与无穷小的关系, 有 f (x)=A+a, g (x)=B+b, 其中a及b 为无穷小. 于是 f (x) ± g (x)=(A +?a) ± (B +?b) =?(A ± B) +?(a?± b), 即f (x) ± g (x)可表示为常数(A ± B)与无穷小(a?± b)之和. 因此 lim [f (x) ± g (x)] =?lim f (x) ± lim g (x) =?A ± B . 推论1 如果lim f (x)存在, 而c为常数, 则 lim [c f (x)]=c lim f (x). 推论2 如果lim f (x)存在, 而n是正整数, 则 lim [f (x)]n =[lim f (x)]n. 定理4 设有数列{xn }和{yn }. 如果 , , 那么 (1); (2); (3)当(n=1, 2, × × ×)且B10时, . 定理5 如果?(x)3?(x), 而lim ?(x)=a , lim y(x)=b , 那么a3b . 例1. 求. 解: . 讨论: 若, 则 提示: =a0x0n+a1x0n-1+× × ×+an=P(x0). 若, 则. 例2. 求. 解: . 提问: 如下写法是否正确？ . . 例3. 求. 解: . 例4. 求. 解: , 根据无穷大与无穷小的关系得=￥. 提问: 如下写法是否正确？ . 讨论: 有理函数的极限 提示? 当时, . 当且时, . 当Q(x0)=P(x0)=0时, 先将分子分母的公因式(x-x0)约去. 例5? 求. 解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取极限: . 例6? 求. 解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取极限: . 例7. 求. 解: 因为, 所以 . 讨论: 有理函数的极限 提示? ? 例8. 求. 解: 当x?￥时, 分子及分母的极限都不存在, 故关于商的极限的运算法则不能应用. 因为, 是无穷小与有界函数的乘积, 所以 . 定理8(复合函数的极限运算法则) 设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成, f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义, 若, , 且在x0的某去心邻域内g(x)1u 0, 则 . 定理8(复合函数的极限运算法则) 设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成, f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义. 若g(x)?u0(x?x0), f(u)?A(u?u0), 且在x0的某去心邻域内g(x)1u0, 则 . 简要证明 设在{x|0?|x?x0|??0}内g(x)1u0? 要证?? ?0? ???0? 当0?|x?x0|?? 时? 有|f[g(x)]?A|?? ? 因为f(u)?A(u?u0), 所以?? ?0? ???0? 当0?|u?u0|??时? 有|f(u)?A|?? ? 又g(x)?u0(x?x0), 所以对上述??0? ??1?0? 当0?|x?x0|??1时? 有|g(x)?u0|??? 取??min{?0? ?1}? 则当0?|x?x0|??时? 0|g(x)?u0|??? 从而 |f[g(x)]?A|?|f(u)?A|?? ? 注: 把定理中换成或,? 而把换成可类似结果. 把定理中g(x)?u0(x?x0)换成g(x)?￥(x?x0)或g(x)?￥(x?￥),? 而把f(u)?A(u?u0)换成f(u)?A(u?￥)可类似结果. 例如 例9 求. 解?是由与复合而成的. 因为? 所以. §1. 7极限存在准则 两个重要极限 准则I 如果数列{xn }、{yn}及{zn}满足下列条件: (1)yn?xn?zn(n?1, 2, 3, × × ×), (2), , 那么数列{xn }的极限存在, 且. 证明? 因为, , 以根据数列极