调整法与局部调整法.docVIP

调整法和局部调整法 证明不等式常用方法之一 比如要证 ，先考察取等条件 ，根据F的形式和取等条件构造一个变换 ，使得对任意的 ，有 ，然后只需证变换后的 即可。 局部调整经典例题：（03年国家集训队） a,b,c=0且ab+bc+ca=1,求 的最小值 根据对称性，不妨设 a=b=c，下证： 记 ， ，则上述不等式 //不等式两边减1 //有c’-c=0的保证，因为 而由 ，故原不等式成立； 由上，下证： 记 ， ，则 ，由于G(u)在[2,+inf)是单调递增的 故 G(u)=G(2)=5/2 这个例子是调整法的一个很好的例子，局部调整法中最经典的可以参看排序不等式的证明。 之前有用 HYPERLINK /logshtml反向归纳法 提供了一个A-G不等式证明思路，下面再用局部调整的想法去考虑： 先申明一条：A-G不等式的条件中限定每个元素都是正数。 还是先从n=２开始，要证 设 ， ，令 ，下证 不妨设 ， ，则 ，当且仅当 时取等号，证毕. 然后考虑n元的A-G不等式，设 ， ，令 ，下证 对任意的存在某个ai不等aj的(a1,a2,…,an)， 于是我们证明了对任意的存在某个ai不等于aj的(a1,a2,…,an)，F(a1,a2,…,an)不是值域中的最大值。 这里有个问题，我们从来没有考虑过值域集合是否存在最大值？虽然由 和确界定理可知上下确界存在。 但是Fn的上确界是否属于值域中的元素就是个大问题了。 这里借用一个泛函分析中的定理：对连续映射，开集的原象是开集，闭集的象集是闭集。有人说，这里定义域不是闭集阿，那么我们把每个a[k]范围从正数扩充到非负数（以上对正数的分析仍然成立，而如果某个a[k]为零，则乘积为零显然也不是最大值），这样象集合就是闭集，上确界必然存在于值域集合内，也就是说，最大值是存在的。到此我们可以Claim：F(t,t,…,t)就是最大值. 从这一点说，我可以理解为什么当年从来没有老师教这种证明A-G不等式的方法了. 如何用调整法证明平均值不等式 继续追问： c1，c2怎么设 补充回答：