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第七章 第七节 立体几何中的向量方法（理） 题组一 利用空间向量证明平行、垂直问题 1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于 A．AC B．BD C．A1D D．A1A 解析：如图所示，易证BD⊥平面AA1C1C，又CE?平面ACC1A1，∴BD 答案：B 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a， M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq \f(\r(2)a,3)， 则MN与平面BB1C1C的位置关系是 A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 解析：∵正方体棱长为a，A1M＝AN＝eq \f(\r(2)a,3)， ∴＝eq \f(2,3)，＝eq \f(2,3)， ∴＝＋＋＝eq \f(2,3)＋＋eq \f(2,3) ＝eq \f(2,3)(＋)＋＋eq \f(2,3)(＋) ＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,3). 又∵是平面B1BCC1的法向量， 且·＝(eq \f(2,3)＋eq \f(1,3))·＝0， ∴⊥， ∴MN∥平面B1BCC1. 答案：B 题组二 利用空间向量求空间角 3.(2010·陕西八校模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中， M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin 〈，〉的值为 (　　) A.eq \f(1,9) B.eq \f(4,9)eq \r(5) C.eq \f(2,9)eq \r(5) D.eq \f(2,3) 解析：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)， cos〈，〉＝－eq \f(1,9)， sin〈，〉＝eq \f(4\r(5),9). 答案：B 4．(2009·上海高考)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求二面角B1－A1C—C1 解：如图，建立空间直角坐标系． 则A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)， 设AC的中点为M， ∵BM⊥AC，BM⊥CC1. ∴BM⊥平面A1C1 即＝(1,1,0)是平面A1C1C 设平面A1B1C的一个法向量是n＝(x，y，z)． ＝(－2,2，－2)，＝(－2,0,0)， ∴ 令z＝1，解得x＝0，y＝1. ∴n＝(0,1,1)， 设法向量n与的夹角为φ，二面角B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角． ∵cosθ＝|cosφ|＝＝eq \f(1,2)，解得θ＝eq \f(π,3). ∴二面角B1－A1C－C1的大小为eq \f(π,3). 题组三 综 合 问 题 5.如图，P－ABCD是正四棱锥，ABCD－A1B1C1D1是正方体， 其中AB＝2，PA＝eq \r(6). (1)求证：PA⊥B1D1； (2)求平面PAD与平面BDD1B1所成锐二面角的余弦值． 解：以D1为原点，D1A1所在直线为x轴，D1C1 线为y轴，D1D所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则D1(0,0,0)，A1(2,0,0)，B1(2,2,0)，C1(0,2,0)， D(0,0,2)，A(2,0,2)，B(2,2,2)，C(0,2,2)， P(1,1,4)． (1)证明：∵＝(－1,1,2)，＝(2,2,0)， ∴·＝－2＋2＋0＝0， ∴PA⊥B1D1. (2)平面BDD1B1的法向量为＝(－2,2,0)． ＝(2,0,0)， ＝(1,1,2)． 设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥. ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＝0，,x＋y＋2z＝0，))　∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－2z，))取n＝(0，－2,1)， 设所求锐二面角为θ，则 cosθ＝＝eq \f(|0－4＋0|,2\r(2)×\r(5))＝eq \f(\r(10),5). 6．(2010·广州调研)如图，已知等腰直角三角形RBC， 其中∠RBC＝90°，RB＝BC＝2.点A、D分别是 RB、RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到 △PAD位置，使PA⊥AB，