第14讲柯西中值定理及洛必达法则2009.docVIP

第14讲 柯西中值定理与洛必达法则 授课题目 柯西中值定理与洛必达法则 教学内容 1. 柯西中值定理；2. 洛必达法则． 教学目的和要求 通过本次课的教学，使学生能较好地了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限, 掌握洛必达法则型定理的证明. 教学重点及难点 教学重点：洛必达法则求各种不定式极限； 教学难点：洛必达法则定理的证明. 教学方法及教材处理提示 (1)??? 本讲的重点是掌握用洛必达法则求各种不定式极限，特别强调洛必达法则在极限计算中的重要性，是计算极限的一种常用的有效方法. (2)采用讲练结合的授课方式，通过举例的形式，总结和归纳求各种不定式极限的方法，使每一位学生都能掌握此法则． (3) 本讲的难点是洛必达法则定理的证明，特别是 型的证明，但要求学生掌握洛必达法则 型定理的证明． (4) 了解柯西中值定理. 作业布置 作业内容：教材 :2，3，5（2，4，6，8，10，12），7（5，8）. 讲授内容 一、柯西中值定理 定理6.5(柯西（cauchy）中值定理) 设函数和满足 (i)在上都连续；(ii)在()上都可导；(iii)不同时为零；(iv) 则存在使得 证：作辅助函数易见在)上满足罗尔定理条件，故存在，使得 因为 (否则由上式也为零)，所以得证. 例1 设函数在[a,b]上连续，在()内可导，则存在，使得 证：设，显然它在上与一起满足柯西中值定理条件，于是存在)，使得 整理便得所要证明的等式． 二、不定式极限 现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达(L’Hospital)法则． 1．型不定式极限 定理6.6 若函数和满足：(i)；(ii)在点的某空心邻域内两者都可导，且；(A可为实数，也可为或，则 证：补充定义，使得与在点处连续．任取，在区间[] (或[]上应用柯西中值定理，有 即 (介于 当令时,也有使得 注意 若将定理6.6中 换成也可得到同样的结论. 例2 求 解：容易检验与在点的邻域内满足定理6．6的条件(i)和(ii)，又因 故由洛必达法则求得 例3 求 解：利用～则得 = 例4 求 解：这是型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解．但若作适当变换，在计算上可方便些．为此，令，当时有，于是有 2．型不定式极限 定理6.7 若函数和g满足：(i) ii）在某右邻域内两者都可导，且（iii）(A可为实数，也可为±)，则 注：定理6.7对于。或等情形也有相同的结论． 例5 求 解： 例6 求 解： 注：不能对任何比式极限都按洛必达法则求解．首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其他条件．，虽然是型，但若不顾条件随便使用洛必达法则： 就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论． 3．其他类型不定式极限 不定式极限还有等类型．它们一般均可化为型或型的极限。 例7 求 解：这是一个型不定式极限， 例8 求 解：这是一个“”型不定式极限．作恒等变形 其指数部分的极限是型不定式极限，可先求得 从而得到。 例9 求 （为常数）。 解：这是一个型不定式极限，按上例变形的方法，先求型极限： 然后得到 。当=0时上面所得的结果显然成立． 例10 求。 解 这是一个型不定式极限．类似地先求其对数的极限(型)： 于是有 例11 求 解：这是一个型不定式极限，通分后化为型的极限，即 例12 设 且已知，，试求 解：因为所以由洛必达法则得 注：(1)上例解法中，已知条件用在何处? (2)如果用两次洛必达法则，得到错在何处? 例13 求数列极限